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一元二次方程教学案例反思
一、教材分析
本节课是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书（六三学制）九年级上册第二十二章第一节一元二次方程．
二、教学内容
1．一元二次方程的概念和一元二次方程的一般式及有关概念；
2．一元二次方程根的概念；
3．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体问题．
三、教学目标
1．数学思考：通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念得到一元二次方程的定义；
2．知识目标：一元二次方程的一般形式 及其有关概念；
3．解决问题：解决一些概念性的题目；
4．解决问题：了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题；
5．情感态度目标：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
四、教学重点
1．一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题；
2．判定一个数是否是一元二次方程的根．
五、教学难点
1．通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念知识迁移到一元二次方程的概念；
2．由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
六、教学方法
引导发现法、讨论法．
七、教具、学具
教具：计算机多媒体课件；
学具：三角板．
八、教学媒体
大屏幕．
九、教学过程
Ⅰ、情景引入，设疑激思
师：我们之前已经学习了列方程解应用题，并且大家也培养了一定了分析问题解决问题的能力，现在我们看下面两个问题大家能不能分析解决．
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题．
（几分钟后）
师：大家考虑好了吗？做的怎么样？
生：（齐声）好了．
师：很好！那么对于问题1谁来说一说解题思路？
（学生齐举手，老师点名）
生甲：设切去的正方形的边长为 cm，则盒底的长为 cm，宽为 cm. 根据要制作的方盒的底面积为3600 cm2，得
整理，得
化简，得
师：很棒！有同学有异议的吗？
生：（齐声）没有．
师：好，那我们先标记上式为①式．接着我们看问题2，有同学整理出解题思路了吗？谁来说一说？与大家交流一下．
（大部分学生举手，明显没有问题1举手的同学多）
师：没关系，暂时还没有想出来的同学，我们来听听其他同学的想法看有没有道理，能不能给自己一些提示．
生乙：根据题意可得全部比赛的场数为 设应邀请 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场．
于是，
整理化简，得
师：非常棒！大家说他说的对吗？
生：（齐声）对！
师：好，那我们标记上式为②式．现在我给大家几分钟的时间再回过头来理解一下这个题目是不是真的弄明白了，然后再请大家考虑以下几个问题：
（教师演示课件，给出问题）
（1）上面两式整理后各含几个未知数？
（2）按照整式中多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）这两个式子含等号吗？还是与以前多项式一样只有式子？
由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．
Ⅱ、探索新知，引申思考
（一）、一元二次方程的概念
学生活动：请口答上面提出的问题．
（学生齐答后）
老师点评：（1）都只含一个未知数 ；
（2）它们的最高次数都是2次的；
（3）都有等号，是方程．
师：因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
注意：若 ，则方程 变为 ，这个方程为一元一次方程，当然就不能称为一元二次方程．
一个一元二次方程经过整理化成 后，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项．
通过具体事例，探索一元二次方程的定义及其相关概念．同时联系到一元一次方程，运用知识的迁移让这部分内容显得更为简单，便于理解．
师：以上我们一起学习了一元二次方程的相关概念，现在请大家展示一下自己的学习成果，试做下列几个题目．
学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．
教师活动：
在下面巡视学生做的情况，在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．最后板演规范的做题格式，培养学生良好的解题习惯．
例1．将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
（师板演）解：去括号得
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．
进一步巩固一元二次方程的基本概念．
例2． 将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
（学生活动：请两至三位同学上台演练；教师活动：观察学生做的效果，及时纠错，提醒学生运算要细心）
分析：通过完全平方公式和平方差公式把 化成 的形式．
解：去括号，得：
移项，合并得：
其中：二次项为 ，二次项系数为2；一次项为 ，一次项系数为2；常数项为 ．
（二）、一元二次方程根的概念
师：刚刚我们巩固了一元二次方程的一些基本概念，接下来我们继续来解决问题，先请同学们猜测一下方程 的解是什么？
当 时， ；当 时， ，依此类推可以得出下表：
12345678910…
02612203042567290…
学生活动：
学生可以采取多种方法得到方程的解，比如利用上述表格的形式，发现当 时等号成立，于是 是方程的一个解，如此等等．
教师活动：
教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结如下：
使一元二次方程等号成立的未知数的取值叫作一元二次方程的解（也叫作一元二次方程的根）．
师：现在请同学们思考这样一个问题：是否只有 才是方程 的根呢？换句话说，方程 是否只有 这一个根呢？
事实上，通过观察探究我们不难发现将 代入方程 ，同学们可以简单的计算一下等式的左边 右边，所以 也是方程 的根．
虽然方程 有两个根（8和 ），但是对于排球邀请赛问题却只有一个答案，因为参赛队伍数为正整数，所以应邀请8个队参赛．
综上可述，由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否符合实际情况．
探究一元二次方程根的概念及作用，以及由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
例3． 下面哪些数是方程 的根？
分析：要判定一个数是否是一个一元二次方程的根，只要把其代入等式，看等式是否成立即可．
解：将上面的这些数代入计算后，发现只有 和 满足方程的等式，所以 和 是一元二次方程 的两根．
使学生熟悉一元二次方程根的概念，对于给定的数能准确判断它是否是该一元二次方程的根.
十、反馈练习
1．将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
2．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） ； （2）
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程．
检查学生对基础知识的掌握情况.
十一、应用拓展
师：学习了一元二次方程的基础知识，我们现在看学生灵活掌握的情况.看下题.
例4． 求证：关于 的方程 ，不论 取何值，该方程都是一元二次方程．
（学生思考后分组讨论，结论：解决此问题与一次项的系数无关）
分析：要证明不论 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 即可．
证明：
∴ ，即
∴ 不论 取何值，该方程都是一元二次方程．
例5． 要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为 cm，则宽为 cm，列方程 ，即 .
请根据方程回答以下问题：
（1） 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
1011121314151617…
（3）你知道铁片的长 是多少吗？
分析：根据实际问题的意义，对于 ，由于不能直接求出，我们可以用列表的方法来求．
解：（1） 不可能小于5．理由：如果 ，则宽 ，不合题意．
不可能等于10．理由：如果 ，则面积 ，也不可能．
（2）
1011121314151617…
-100-84-66-46-2402654
（3）由（2）可得，铁片长 cm．
教师活动：讲解例4、例5，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答．
使学生进一步理解一元二次方程的概念，对一元二次方程的根有更加深刻的理解.
十二、归纳小结
师：同学们，今天我们这次课的主要内容就讲到这里.通过课堂教学你们学到了哪些知识？从中得到了什么启发？
生：（齐答）（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用；
（3）一元二次方程根的概念以及作用.
师：很好！为了及时巩固知识，请同学们完成课后习题.
十三、布置作业
课本P28 复习巩固2、4 综合运用5、6、7 拓广探索8.
十四、教学反思
1、传统意义上“教”的转变
本次课我将教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，在引导学生思考、演练发现结论后，利用知识的迁移深入浅出的讲解，激发学生自觉探究数学问题，体验发现与解决问题的乐趣；
2、传统意义上“学”的转变
力求将学生的角色从学会转变为会学.这次课学生不是仅仅停留在学会课本知识的层面，而是站在研究者的角度深入其境，探寻知识；
3、课堂教学氛围的转变
课堂以“流畅、开放、合作、引导”为基本特征，尽量减少对学生思维的干预，教学过程呈现一种比较正面和积极探讨的特征.同学之间师生之间以“交流”、“讨论”为出发点，以团结合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个相对比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，发现自我价值，同时真正实现德育培养的目标.
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