张齐华课堂实录
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师：我来测测大家的反应怎么样？上课！
生：起立。
师：同学们好！
生：老师好！
师：请坐！
师：生活当中经常遇到各种各样的数，对吗？比如说，谁愿意告诉我你今年多大了？
生1：我今年12岁。
师：真不错，长这么小个儿已经12岁了。你！
生2：我今年11岁。
师：瞧，人家长的高，11岁。你！
生3：我今年也是12岁。
师：也是12岁。行！其实光知道自己的年龄并不稀奇，有谁知道自己爸爸多大了？
生1：我爸爸37岁。
师：37岁，挺年轻的。
生2：我爸爸42岁。
师：好，再来一个。你！
生3：我爸爸39岁。
师：真好！同学们看，自己的年龄知道吗？
生：知道。
师：爸爸的年龄知不知道？
生：知道。
师：像这些都知道的数，数学上给他这个名称。板书：已知数
师：叫已知数，咱们都知道了是不是？那既然有已知数，就一定有（ ）。
生：未知数。
师：好感觉，还有未知数。板书：未知数
师：那么自己的年龄、爸爸的年龄对大伙来说这些都是已知数。那生活当中对你们来说是未知数呢？举个例来说一说，你来。
生1：大海有多深？
师：大海有多深？对他来说是个未知数。真好，你呢？
生2：全世界有多少人？
师：全世界有多少人口？你！
生：天上有多少颗星星？
师：真好!看来生活中已知数有很多，未知数（ ）。
生：也很多。真好，再举个例子。刚才是谁说爸爸的年龄是已知数的？举手告诉我，你爸爸的年龄多大了？
生：37岁。
师：你知道你爸爸银行卡里有多少钱吗？
生：他说临死前会告诉我。
师：用一种很智慧的方式告诉了我，这会你还不知道，多聪明的一个女孩。她既要说明现在是一个未知数，但是早晚会成为一个（ ）。
生：已知数。
师：看来，现在对她来说暂时是一个未知数。
师：看，今天来了很多听课老师，目前来了一共多少位老师知道吗？
生：不知道。
师：什么数？
生：未知数。
师：这样的未知数多不多？
生：多。
师：那么张老师问大家一个问题，实话实说。是喜欢已知数还是喜欢未知数？你来！
生1：我喜欢未知数。
师：为什么？
生1：因为未知数有探究性。
师：真好！附小的孩子不一样。还有什么？你！
生2：我也喜欢未知数，因为未知数越多，我就能知道越多的已知数。
师：棒啊！瞄着每一个未知数等着它成为已知数，对吧。还有谁来？你！
生：我喜欢已知数，因为只有有了已知数，你才能求出未知数。
师：太棒了，一个比一个卓越优秀。喜欢未知数的告诉我是因为未知数能让我们更多地去探索。但是，不管你喜欢什么数，有一点是形成共识的，就是遇到未知数，我们总会想方设法把它变成（）。
生：已知数。
师：那未知数怎样才能变成已知数呢？
生：你比如，她爸银行卡里的钱不知道？别等了到那一天了，有什么办法能知道？大伙给她想想办法？你！
生1：可以去问。
师：直接问爸爸，可不可以。直接问就是一个好办法呀！还有没有好办法？你！
生2：去银行输他的帐号查。
师：专业。还有其他办法吗？你！
生：爸爸取钱的时候看。
师：可以，偷偷瞄两眼。好，台下那么多老师，到底有多少？也是一个未知数。怎么才能变成已知数？你来！
生1：问问工作人员。
师：问问工作人员，可不可以。
生2：用我们知道的已知数来求。
师：好，想办法借助已知数来求。看来，要获得一个未知数有两种思路，一种是思路是想办法直接去了解，对不对？还有一种是根据已知数想办法来求知未知数，对吧？换个话题好不好？刚才我们讨论了银行的钱，台下老师的人数。下面我们知道张老师今年多大吗？目前张老师多少岁？对你们来说是个（ ）。
生：未知数。
师：数学上未知数怎么表示？
生：x.
师：可以用字母x 表示，当然y、z也都可以。同学们，想不想让它变成一个已知数？
生：想。
师：有什么办法？我就站这儿，有什么办法求出来？
生：问你一些信息，然后设法求出来。
师：直接问我。差不多就这个思路了，今天张老师就和大家来学习不通过直接了解，怎样想办法用别的思路找到未知数的结果？想不想试试？
生：想。
师：张老师的年龄是一个未知数，谁的年龄是一个已知数？
生：我们的。
师：你们的年龄是一个已知数，谁来？谁的年龄是个已知数？你来。
生：11。
师：你11岁，什么数？
生：已知数。
师：写下。师板书。
师：同学们！现在要是张老师告诉你，我的年龄和他的年龄之间的某一种关系，你们能不能知道张老师的年龄？
生：能。
师：确定？我们来试一试。看谁的反应最快。
师：看屏幕，1、2，悄悄的告诉你，张老师的年龄比他大，如果我的年龄减去20岁，我的年龄还比他大。实话告诉我，能确定吗？
生：不能。
师：可能是多少岁？
生1：可能是三十多岁。
师：三十多，能再具体点吗？有可能是三十多少？你来！
生2：32。
师：32，有道理。还可能是三十多少？你！
生3：34。
师：34，还有没有可能？你！
生4：33。
师：能不能确定？
生：不能。
师：看来，光知道这个信息还不行，换一个好不好！看，1、2。
师：如果我的年龄减去30岁，我的年龄比他小。实话告诉我，能确定吗？
生：不能。
师：还是不能，张老师就好奇了。你看，这么跟你讲，你也不能确定。那么跟你讲，你也不能确定。你到底想要我说什么？你才能确定呢？你说！
生1：告诉你的年龄是我们的几倍？
师：可以吗？还有？你说！
生2：你的年龄比我们大多少？
师：也就是说，几倍也好，比他大多少也好，你得确定下来我的年龄和你的年龄到底有怎样的相等关系？对吧？那就出来了哦！谁要知道了把手高高举起来。
师：如果我的年龄减去25岁，我的年龄就和他正好相等了。告诉我多大？
生：36.
师：我就有问题了。同学们，你看，这三句话都表示出了我的`年龄和他的年龄之间的一种关系，对不对？那为什么前面两个出来以后不知道我的年龄？而第三个一出来，大伙都确定了，为什么？前后左右商量商量为什么？
生前后讨论
师：好了没有？为什么前面两个都不行，后面一个却成功了？你来！
生1：我认为前两个只告诉你张老师的年龄和他之间的关系，没告诉你准确的等量关系。
师：多专业的一个词。他的意思是你给了我关系还不行，还得告诉我是怎样的等量关系，真专业。不过同学们，光这么说我估计有的同学还不能领会，从数学的角度，我们再琢磨琢磨，好不好？
生：好！
师：我有一个建议，我们把三种关系用含有字母的式子表示出来，看看大家还能发现什么？第一个。
师：我的年龄怎么表示？
生：x-20>11（师板书）
师：反应真快！x-20>11（师板书）真好！第一句话我们就用这一个式子表示出来了，第二句话行不行？一起说！
生：x-30<11（师板书）
师：一起看第三个，一起来。
生：x-25=11（师板书）
师：这是能找到年龄的一个式子，这是不能找到年龄的式子，比较一下，发现了什么？
师：不用举手，发现了什么？一起说。
生：上面两个是>或<，下面是=。
师：可别小看了这个=，就象刚才这位女同学说的，正是因为这个=，我们就在未知数和已知数之间建立了一种什么关系？
生：等量关系。
师：等量关系。（板书）
师：孩子们，像这样在未知数和已知数之间建立的等量关系的式子，你知道数学上叫什么吗？
生：方程。
师：未知数和已知数之间建立的等量关系式，数学上我们就把它叫做方程。（板书方程）这两个叫方程吗？
生：不是。
师：大声找理由，说为什么？
生：没有等号。
师：没有等号，也就是未知数和已知数之间没有（ ）。
生：等量关系。
师：这样看来，只有在未知数和已知数之间建立等量关系的式子才是（ ）。
生：方程。
师：学到现在，相信大家对方程已经有了初步的认识。看，张老师又给大家带来了什么？大家看屏幕。
生：苹果、梨、西瓜、西红柿、草莓。
师：这会儿知道他们有多重吗？
生：不知道
师：什么数？
生：未知数
师：想不想让它们变成已知数？
生：想
师：有一样工具可以实现这个目的，告诉我是什么？
生：…… （太土） 天枰、砝码
师：借助天枰和砝码可以让它们变成已知数，是吧？不过我有个问题，同学们，是不是我有了天枰和砝码就一定能找到这几个水果的重量呢？别着急，课的一开始呀张老师利用这些工具进行了四次测量的活动，想不想看看测量的结果？
生：想
师：瞪大眼睛，各不相同。一……藏在心里，二……三……四……看完了没有？我只有一个问题：看这四幅图告诉我，是不是所有的水果的重量你都知道了？
生；不是
师：有没有一些已经知道了？别告诉我，我给大家一个问题好不好？观察屏幕，你觉得借助这几个天枰图，哪几种水果的重量你已经知道了？嘘~为什么？哪几种水果的重量现在还不知道，又是为什么？在我们的前后四人小组里边好好的商量商量好不好？赶紧，开始！
生：（讨论）
师：好了没有？看看大伙儿经过讨论意见是否一致？告诉我，谁已经知道了？……都同意？好，看样子，这两种水果的重量已经知道了，那么我的问题就来了同学们，奇怪了，二号也有天枰也有砝码，为什么西瓜的重量不知道呢？为什么？你说。
生：西瓜重量加50千克的砝码大于200千克，它不足于建立等量关系。
师：这个不足于说得好，天枰？？以后能找到等量关系吗？那这个时候我们能根据已知的数找到未知数吗？
生：不能
师：真好，不能建立等量关系，所以找不到西瓜的重量。哎，三号，三号可是等量关系噢，怎么也不行呢？
生：因为它没有已知数，是两个未知数，两个未知数没法算出等量关系
师：话快要到头的时候稍微绕了一下，有没有等量关系？（有）只可以左右两边都是未知数，没有已知数，所以找不到解决问题的突破口，对不对？（对）那这样看来，它不含等量关系，它没有已知数，那什么情况下才能找到未知数的结果？既得有（已知数）也得有（已知数）还得建立（等量关系）。好，那这样看来，一和四可不可以？（可以）正因为他们建立了等量关系，那你能不能结合一和四的这两幅图列出两个方程，行不行？好，打开作业本，把这两个方程都写下来，我请两个同学上来写，一人写一个，来，你一个，你一个。……你写第一个好不好？就写这边，你写四号……真好
（学生写）
师：好了没？我们一起来看一下，重新看一下四号，可不可以？一号，X+50=200，对吗？都写对的举手，手放下，真好。哎，那我问一问，这里的二号和三号可不可以列出方程？
师：其实呀，这里的三号也是可以列出方程的，只不过它不是我们小学阶段要研究的方程，二我们小学阶段只研究在未知数和已知数之间建立等量关系所形成的方程。明白了吗？真好
师：好，刚才我们已经认识了方程，下面如果让你们找一找方程。行不行？老师这儿给大家带来了8个式子，那这8个式子当中哪些是方程呢？哪些不是呢？想试试吗？（想）一起来看啊……
师：可是很遗憾的是，一不小心啊，有两个式子上面被滴了一滴墨水，现在有点儿看不大清楚了，至于说那墨水的背后到底是已知数还是未知数张老师已经记不得了。孩子们，这8道式子里有方程吗？（有）
师：俩问题，一、哪几个是方程，哪几个不是。二、为什么他们不是方程。好不好？还是老规矩，前后四个人商量商量，说说你的看法。
（学生讨论）
师：好了，这样，把最有把握的说出来，好不好？来，从前往后，几号是方程？（1号）然后呢？（4号）然后呢？（5号）还有？也就是7号有争议，有争议就先放下来，
师：未知数和已知数都没有建立等量关系，没有等量关系能算方程吗？谁有争议？7号有争议？为什么7号有争议？
生：7号如果把墨水揭开以后像2号一样是一个整数的话这不是未知数的话，那么它就不是一个方程，那如果是X或一个未知数的话它就是方程
师：如果是一个未知数的话是有可能还是一定是方程？（一定）把掌声送给这位姑娘，分析问题非常的精辟。8号有争议吗？（没有）8号不是也有一个墨迹吗？说说什么原因？
生：没有未知数
师：要不要揭开看看？
生；不要
师：揭开来也没用，如果是一个未知数为什么也不行呢？
生：没有等量关系
师：没有等量关系都不行吗？是不是？那现在谁能用一句话来说说什么是方程？说出来让我听听？
生：在已知数与未知数之间建立等量关系
师：建立的等量关系式我们就把它叫做方程？好了，既然是这样的话，那行，张老师给大家带来一些图，这些图都藏着等量关系式，你能根据隐藏的等量关系式列出方程吗？（能）有信心吗？（有）第一个，准备——举手就可以了
生：X+50=100
师：再自然不过了，左边X+50，右边100.等量关系有没有？（有）5个同样的球，一起说——（6X=50）还6X，几X？（5X）对，左边是5X，右边是50，有没有建立等量关系？（有）真好！挑战一下好不好？非常简单，谁来？
生：80+X=200
师：80+X=200可以吗？（可以）倒过来，X+80=200可以吗？（可以）这样似乎同样的问题可以留出不同的方程，对不对？想试试吗？这样行，张老师真的要出难题了，注意观察，线段图能列出方程吗？记住我们前面的约定，想不想在小组里试一试？我们来比一比，那个小组思路最开阔，根据不同的等量关系列出不同的方程，可不可以？来，三人小组，赶快！
（学生讨论）
师：可以了吗？（可以）
师：我看到这一小组只有几个？（2个）后来一商量几个？（4个）了不起！谁来一口气都把它报出来，我就佩服你。
生：X+350=800,350+X=800,800-350=X
师：还有吗？好，他就找到这三个，别着急，我先把这三个找出来，你们还有补充吗？
生：800-350=X
师：找到没有，真好。800-350=X，都说附小的孩子厉害，就这一幅图找到了几个方程？
生：四个
师：别蒙我，光找方程不稀奇，这里的方程你根据什么等量关系列式的，我就真佩服你，第一个。这边机会比较少，你来说
生：我是根据少年宫到第二个竖线的，他走了X米
师：也就是走了的米数
生：然后加上剩下的米数，总共是800米，它们加起来就是800米
师：可不可以？
生：可以
师：如果用规范的语言那等量关系式就是：用已走得米数+还剩的米数=总共的米数，可不可以？
生：可以
师：真好！第二个谁来说说？
生：还剩的米数+一走的米数=800
师：可不可以？一起来：也就是还剩的米数+已走得米数=总共的米数，可不可以？（可以）真好！
师：第三个，一起来。
生：一共的米数-已走得米数=还剩的米数
师：有列出了一个独特的方程，最后一个？
生：用一共的米数-还剩的米数=已走得米数
师：你们说了四个等量关系，不是蒙的，那是正儿八经经过思考想出来的，不过我要考考你们，在四个方程中有一个方程通常不用的，你猜一猜是哪个方程？猜错了没有关系，说说你的想法
生：350+X=800
师：觉得这个不太好？
生：800-X=350
师：为什么是这个？
生：换成第四个是比较好的
师：真好
生：800-350=X最合适。
师：为什么呀？
生：我们通常不求未知数的，求已知数的。
师：它们就有矛盾了，一个说是求已知的数，一个说是求未知数的，有意思
生：方程是未知数和已知数的等量关系，而第四个是已知数与已知数的等量关系
师：哎，有点感觉了，据我了解，很多同学觉得有一个方程学生认为特好，四号，你会觉得方程特舒服，这个方程算起来好简单，但是我站在这个小伙子这边告诉你，你们觉得很好的方程是我们不常用的方程，你们感觉不太好的方程恰恰是我们数学上的好方程，你觉得心理上能接受吗？
生：能！
师：我还担心你不能接受呢，坦率的说，我在小时候特不能接受，好端端的一个方程你非得说它不行，不过不适应没关系，当我们从计算进入到方程领域时我们会遇到新的规则，许多新的思考方式，今天不适应没关系，随着方程的学习，相信同学们能适应的，有信心吗？
生：有，能适应！
师：同一问题，我们能列出不同的方程，有一个方程不太好先藏起来。那么，倒过来，不同的问题有没有可能列出相同的方程？有没有可能？（有可能）想试试吗？这个小伙子特别严谨，说有可能，好！我们来看，准备好，看谁最先列出这个方程，预备~
生：4X=320
师：并列第一名，确认（确认），再来
生：4X=320
师：第三~~孩子们已经充满期待
生：4X=320
师；三个方程一出，大伙儿都笑了，为什么？
生：都一样的
师：这三个问题一样吗？（不一样）第一个卖书包，第二个开汽车，第三个比藏书，三个不同的问题列出一样的方程，这是一个有挑战性的问题，同桌互相商量一下
（学生讨论）
师：为什么？
生：把320分成4个等量的，我们不知道而已
师：从一个不同的地方讲到骨子里的不同，了不起
生1：数据一样
生2：方程不是一个特定的单位，放在哪儿都可以
师：好样的
生：它们数量关系是一样的
师：找到了核心的问题，掌声送给他。
师：数量关系真的一样吗？一样不一样？我们一起来看看……多少？
生：XXXX
师：多少？
生：4X
师：再来，每小时
生：XXXX
师：四个X是多少
生：320
师：儿子是X，老爸是——
生：XXXX
师：合起来是多少？
生：320
师：这样看起来虽然有的是卖书包，有的开汽车，有的比藏书，骨子里一样不一样？（一样）都表示四个X，合起来320，也就是等量关系，既然这样，那我们能不能在生活中再找一个问题，最后列一个方程，还是表示4X=320，你们猜猜看能不能找到？同桌讨论一下，能不能找到这样的问题？
师：好了没有？谁来说一下？
生：卖黑板，一块黑板X元，四块黑板320元
师：看起来这样的黑板有点便宜啊，可不可以？（可以）四块黑板合起来320元，打包卖掉了，来个不一样的。
生：卖鱼的时候，一条鱼X元，4条鱼一共320元
师：这什么鱼啊？看来味道不错，好贵的鱼啊，还有没有？
生：小军跑了X米，小华跑了X米，小东跑了X米，小林跑了X米，他们一共跑了320米
师：四人是商量好的，每人跑的一样多，最后合起来一共跑了320米，可不可以列出4X=320？（可以）还有这么多的学生举手，我想问一个问题，生活中满足4X=320的例子多不多？（多）有多少个？（很多个）确认吗？（确认）
师：这些问题，上至天，下至地，各不相同，有什么事一样的？
生：数量关系是一样的。
师：真好，也就是具有相等的数量关系，我们就可以列出同样的方程，换句话说，无论你的问题怎样变化，只要等量关系相同，都可以用几个方程把它搞定？（一个）这就是方程最大的魅力之所在。好了，今天这节课就学到这儿。
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