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实变函数期末试卷
在学习、工作生活中，我们最少不了的就是试卷了，在各领域中，只要有考核要求，就会有试卷，试卷是命题者按照一定的考核目的编写出来的。那么问题来了，一份好的试卷是什么样的呢？以下是小编为大家整理的实变函数期末试卷，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
实变函数期末试卷 1
一、填空题
设12nAn 12n 则limnnA。 ab因为存在两个集合之间的一一映射为 。 设E是2R中函数1cos000xyxx的图形上的点所组成的 集合则EE。 若集合nER满足EE 则E为集。 若是直线上开集G的一个构成区间 则满足： 。 设E使闭区间ab中的全体无理数集 则mE。 若nmEfx0fx 则说nfx在E上 。 设nER 0nxR若则称0x是E的聚点。 设nfx是E上几乎处处有限的可测函数列 fx是E上 几乎处处有限的可测函数 若0 有 则称nfx在E上依测度收敛于fx。 设nfxfxxE 则nfx的子列jnfx 使得。
1、 111nn 。
2、111nnnnn 。
3、 01到aab的双射是 。
4、 E的全体聚点所组成的'集合包含于E的充要条件是 。
5、01中无理数集的外测度为 。
6、nR中所有开集生成的代数记为B称B中的集合为 。
7、若0mA则对任意的点集B必有mAB 。
8、 当E为闭区间时mE 。
9、设函数fx在可测集E上几乎处处有限若对任意给定的0存在E中的一个闭集F使mEF且fx在F上连续则fx是可测集E上的 。
10、 是否存在开集使其余集仍为开集是或不是选其一填写 。
11、如果 则称E是自密集如果 则称E是开集如 果EE则称E是 。
12、设G表示为一列开集iG之交集1iiGG则G称为 。
13、 若F表示为一列闭集iF之并集1iiFF则F称为 。
14、 abRbaf在E上可测则EfaEfb 。
15、 Cantor集的外测度为 。
26Fatou引理设nf是可测集qRE上一列非负可测函数则 。
二、判断题。
正确的证明 错误的举反例。 若AB可测 AB且AB则mAmB。 设E为点集 PE 则P是E的外点。 点集112En的闭集。 任意多个闭集的并集是闭集。 若nER满足mE 则E为无限集合。
1、若E与它的真子集对等则E一定是有限集
2、凡非负可测函数都是L可积的 8。设A为1R空间中一非空集若。aA则。aA 9。设E为可测集则存在G型集F使得EF且0FEm 10。xf在ba上L可积则xf在baR可积且babadxxfRdxxfL
三、 计算证明题
1、证明：ABCABAC
2、 设M是3R空间中以有理点即坐标都是有理数为中心 有理数为半径的球的全体 证明M为可数集。
3、 设nERiEB且iB为可测集 12i。根据题意 若有 0imBEi 证明E是可测集。 设P是Cantor集 32ln101xxPfxxxP。 求10Lfxdx。 设函数fx在Cantor集0P中点x上取值为3x 而在0P的余集中长为13n的构成区间上取值为16n 12n 求 10fxdx。 求极限： 13230limRsin1nnxnxdxnx。
4、开集减
实变函数期末试卷 2
一、选择题
1、下列关于集合的命题中，正确的是（ ）。
A、 若是A的真子集，则必有A B
B、必有比a小的.基数
C、 一个点不是E的聚点必不是E的内点
2、设A是闭区间[0，1]中的无理点集，则下列说法正确的是（ ）。
A、 mE = 1
B、 mE = 0
C、 E是不可测集
二、填空题
1、设B是实数集R中的无理数集，则B的基数是_____。
2、设An = （1/n， 1/n），n = 0，1，2，......，则∪An = _____，∩An = _____。
3、闭区间[a， b]上的有界函数f（x） Riemann可积的充要条件是f（x）是_____上的几乎处处的连续函数。
三、计算题
1、计算lim （n→∞） ∫[0，1] sin（nx） dx。
2、设f（x） = x，x为小于1的无理数；f（x） = 0，x为有理数或x≥1。试计算∫[0，2] f（x） dx。
四、证明题
1、证明：若mE = 0，则E为可测集。
2、证明：设{E_n}是一列可测集，且E_n E_（n+1），n = 1，2，......，则lim （n→∞） m（E_n） = m（∪E_n）。
五、应用题
（这里可以根据具体教学内容和难度，设计一些与实际应用相关的题目，如概率论、测度论中的实际问题等。）
实变函数期末试卷 3
一、选择题
1、下列哪个集合是可数集？
A. 实数集R
B. 有理数集Q
C. 区间[0,1]
D. 所有长度为1的线段集合
答案：B
2、设f:R→R是可测函数，若f(x)≥0对所有x∈R成立，则∫Rf(x)dx必定：
A. 小于0
B. 等于0
C. 大于等于0
D. 不确定
答案：C
二、填空题
1、设ER是可测集，且m(E)=0（m表示勒贝格测度），则对任意f:E→R，有∫Ef(x)dx=_______。
答案：0
2、勒贝格外测度的性质之一：若AB，则m(A)≤_______。
答案：m(B)
三、简答题
1、解释什么是“几乎处处”的概念，并给出一个实变函数中的例子说明其应用。
答案要点：几乎处处是指除了一个测度为零的集合外，都满足某性质。例如，在实变函数中，若函数在某区间上几乎处处可导，则意味着该函数在该区间上除了一个测度为零的`点集外，其余点都可导。
2、证明：若f,g:R→R是可测函数，则f+g也是可测函数。
证明要点：利用可测集的可数可加性和逆否命题，通过考虑f+g的上界和下界来构造合适的集合序列进行证明。
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