《余弦定理》教学设计
作为一名教职工，总归要编写教学设计，教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。你知道什么样的教学设计才能切实有效地帮助到我们吗？以下是小编为大家收集的《余弦定理》教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。
《余弦定理》教学设计1
一. 教学目标：
1知识与技能：认识正弦、余弦定理，了解三角形中的边与角的关系
2过程与方法：通过具体的探究活动，了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用
情感态度与价值观：通过对实例的探究，体会到三角形的和谐美，学会稳定性的重要
二. 教学重、难点：
1. 重点：
正弦、余弦定理应用以及公式的变形 2. 难点：
运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。
知 识 梳 理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
(1)S＝2ah(h表示边a上的高)． 111
(2)S＝2bcsin A＝2sin C＝2acsin B. 1
(3)S＝2r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)
问题1：在△ABC中，a＝3，b2，A＝60°求c及B C 问题2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C
问题3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝16，则b＝
通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用; 正弦定理可以解决
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
余弦定理可以解决
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三” 知三中必须要有一边 应用举例 【例1】 (1)(20xx·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B3b，则角A等于 ( )．ππππA.3B.4 C.6 12
(2)(20xx·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2，B＝45°，则sin C＝______.
解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0. 3
∴sin A＝2又∵△ABC为锐角三角形， π?π?
∴A∈?02?，∴A＝3??
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×2＝25，即b＝5. c·sin B
所以sin Cb4
答案 (1)A (2)5【训练1】 (1)在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，则C＝
A．30°B．45° C．45°或135°
D．60°
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝3sin B，则A＝ A．30°
B．60° C．120°
D．150°
232解析 (1)由正弦定理，得sin 60°sin C，解得：sin C＝2，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. (2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b， b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋3bc3∴cos A＝2bc＝＝2bc2bc2， 又A为三角形的内角，∴A＝30°. 答案 (1)B (2)A
规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【例2】 (20xx·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的`大小；
(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状． 解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21
∴cos A＝2bc＝2，∴A＝60°.
(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33
∴2sin B＋2B＝3，即sin(B＋30°)＝1. ∵0° ∴B＋30°＝90°，B＝60°. ∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形． 规律方法 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 课堂小结 1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解． 2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明 一、 教学内容解析 人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能,从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。 二、学生学习情况分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 三、设计思想 新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。 四、 教学目标解析 1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。 2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。 3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。 4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。 五、 教学问题诊断分析 1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题： ①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角； ②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。 而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。 2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。 3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。 六、 教学支持条件分析 为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。 七、 教学过程设计 1、教学基本流程： ①从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。 ②余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己探索获得定理的`证明。 ③应用余弦定理解斜三角形。 2、教学情景： ①创设情境，提出问题 问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设计合理的方案，来测量学校前生物岛边界上两点的最大距离（如图1所示，图中AB的长度）。 【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体会到数学来源于生活，数学服务于生活。 师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝试解决。 学生1—方案1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取一点C（如图2），用卷尺量出AC和BC的长，用测角仪测出∠ACB的大小， 那么△ABC的大小就可以确定了。感觉似乎在△ABC中已知AC、BC的长及夹角C的大小，可以求AB的长了。 其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？ 学生2—方案2：在岛对岸可以取C、D 两点（如图3），用卷尺量出CD的长，再用测角仪测出图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的长了。 教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？ 【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。 ②求异探新，证明定理 问题2：你能判断下列三角形的类型吗？ 1、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形 以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形 以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a=8，b=5，∠c=60°，你能求c边长吗？ 【设计意图】：帮助学生分析相关内容，从多角度看待问题，用实践进行检验。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。 问题3：你能够有更好的具体的量化方法吗？ 帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论。 【设计意图】：引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。 学生3：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB，垂足为D。 在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1; 在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2; 学生4：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。 学生5：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，2 22 2 2∴c=（bsinC）+（a- bcosC）= a+b-2abcosC 2 2 22 2 2类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。 教师总结：以上的证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分∠C为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点—余弦定理。 【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。 师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。 教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？ 【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。 学生6：如图6，教师：以上的证明避免了讨论∠C是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单，体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的距离公式，你会有什么启发？ 【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。 学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC = b，BC = a . 且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0）， 【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空间的深度和广度。 【归纳概括】：余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 【设计意图】：知识归纳比较，发现特征，加强识记 【结构分析】：观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现。 【知识联系】：余弦定理的推论： 【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。 ③运用定理，解决问题 让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。 例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。 ②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。 【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。 例2：已知△ABC中求c边长 分析：（1）用正弦定理分析引导 （2）应用余弦定理构造关于C的方程求解。 （3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。 ④练习检测： 1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车的距离之间关系为（ ） A：> B：= C：< D：大小不确定 2、锐角△ABC中b=1，c=2，则a取值为（ ） A：（1,3） B：（1,） C：（，2） D：（，） 3、在△ABC中若有，你能判断这个三角形的形状吗？ 若呢？ 3、小结 本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。 4、作业 第1题：用正弦定理证明余弦定理。 【设计意图】：继续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角，然后利用三角公式进行推导证明。而这种把边转化为角、或把角转化为边的思想正是我们解决三角形问题中的一种非常重要的思想方法。 第2题：在△ABC中，已知，求角A和C和边c。 【设计意图】：本题可以通过正弦定理和余弦定理来求解，让学生体会两种定理在解三角形问题上的利弊。运用正弦定理求角可能会漏解，运用余弦定理求角不会漏解，但是计算可能较繁琐。 5、板书设计： 1、推导余弦定理及其推论 2、例1、例2 3、练习指导 4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识 八：教学反思 1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。 2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。 3、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会，不能再让教学脱离学生的内心感受，把“发现、探究知识”的权利还给学生。 4、本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念。教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论。在这个过程中，教师应该做到“收放有度”，即：不能收的太紧，剥夺了学生独立思考、合作学习的意识，更不能采取“放羊式”的教学，对于学生在探究问题中出现的困惑置之不理。 5、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感官认识的效果，不能让教师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生上课时的“眼到、手到、口到”变为机械的“眼到”，学生看了一节课的“电影”，没有充足的时间去思考、练习、巩固，课后会很快将所学的知识忘得一干二净。 教材分析这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。本章内容准备复习两课时。本节课是第一课时。标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。通过本节学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法判断三角形形状的问题。本章内容与三角函数、向量联系密切。 作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。 学情分析学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。 教学目标知识目标： （1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。 （2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。 能力目标： 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。 情感目标： 通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。 教学方法探究式教学、讲练结合 重点难点 1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择； 2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 教学策略 1、重视多种教学方法有效整合； 2、重视提出问题、解决问题策略的指导。 3、重视加强前后知识的密切联系。 4、重视加强数学实践能力的培养。 5、注意避免过于繁琐的形式化训练 6、教学过程体现“实践→认识→实践”。 设计意图： 学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现以下教学思想： ⑴重视教学各环节的合理安排： 在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。 ⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。 ⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。共3页，当前第1页123 ⑷重视加强前后知识的密切联系。对于新知识的探究，必须增加足够的预备知识，做好衔接。要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选，把对学生后继学习中有需要的知识选择出来，在新知识介绍之前进行复习。 ⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。 二、实施教学过程 （一）创设情境、揭示提出课题 引例：要测量南北两岸a、b两个建筑物之间的距离，在南岸选取相距a点km的c点，并通过经纬仪测的，你能计算出a、b之间的距离吗？若人在南岸要测量对岸b、d两个建筑物之间的距离，该如何进行？ （二）复习回顾、知识梳理 1．正弦定理： 正弦定理的变形： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。 （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（从而进一步求出其他的边和角） 2．余弦定理： a2=b2+c2－2bccosa； b2=c2+a2－2cacosb； c2=a2+b2－2abcosc。 cosa=； cosb=； cosc=。 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 3．三角形面积公式： （三）自主检测、知识巩固 （四）典例导航、知识拓展 【例1】 △abc的三个内角a、b、c的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：a=2b。 剖析：研究三角形问题一般有两种思路。一是边化角，二是角化边。 证明：用正弦定理，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入a2=b（b+c）中，得sin2a=sinb（sinb+sinc）sin2a－sin2b=sinbsinc 因为a、b、c为三角形的三内角，所以sin（a+b）≠0。所以sin（a－b）=sinb。所以只能有a－b=b，即a=2b。 评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解。 思考讨论：该题若用余弦定理如何解决？ 【例2】已知a、b、c分别是△abc的三个内角a、b、c所对的'边， （1）若△abc的面积为，c=2，a=600，求边a，b的值； （2）若a=ccosb，且b=csina，试判断△abc的形状。 （五）变式训练、归纳整理 【例3】已知a、b、c分别是△abc的三个内角a、b、c所对的边，若bcosc=（2a—c）cosb （1）求角b （2）设，求a+c的值。 剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，问题与例2类似解决。 此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。 （解答略） 课时小结（由学生归纳总结，教师补充） 1、解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理 2、根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。并常用正余弦定理实施边角转化。 3、用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。 4、应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。 5、正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。 课后作业： 材料三级跳 创设情境，提出实际应用问题，揭示课题 学生在探究问题时发现是解三角形问题，通过问答将知识作一梳理。 学生通过课前预热1、2、3、的快速作答，对正余弦定理的基本运用有了一定的回顾 学生探讨 知识的关联与拓展 正余弦定理与三角形内角和定理，面积公式的综合运用对学生来说也是难点，尤其是根据条件判断三角形形状。此处列举例2让学生进一步体会如何选择定理进行边角互化。 本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦和余弦定理的基础上而设置的复习内容，因此本课的教学有较多的处理办法。从解三角形的问题出发，对学过的知识进行分类，采用的例题是精心准备的，讲解也是至关重要的。一开始的复习回顾学生能够很好的回答正弦定理和余弦定理的基本内容，但对于两个定理的变形公式不知，也就是说对于公式的应用不熟练。设计中的自主检测帮助学生回顾记忆公式，对学生更有针对性的进行了训练。学生还是出现了问题，在遇到第一个正弦方程时，是只有一组解还是有两组解，这是难点。例1、例2是常规题，让学生应用数学知识求解问题，可用正弦定理，也可用余弦定理，帮助学生巩固正弦定理、余弦定理知识。 本节课授课对象为高三6班的学生，上课氛围非常活跃。考虑到这是一节复习课，学生已经知道了定理的内容，没有经历知识的发生与推导，所以兴趣不够，较沉闷。奥苏贝尔指出，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。因而，在教学中，教师了解学生的真实的思维活动是一切教学工作的实际出发点。教师应当"接受"和"理解"学生的真实思想，尽管它可能是错误的或幼稚的，但却具有一定的"内在的"合理性，教师不应简单否定，而应努力去理解这些思想的产生与性质等等，只有真正理解了学生思维的发生发展过程，才能有的放矢地采取适当的教学措施以便帮助学生不断改进并最终实现自己的目标。由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。这些都是不足之处，比较遗憾。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。毕竟轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。所以新课标下的课堂将会是学生和教师共同成长的舞台！ 一、教学设计 1、教学背景 在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题，这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在20xx级进行了“创设数学情境与提出数学问题”的以学生为主的“生本课堂”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。 2、教材分析 “余弦定理”是高中数学的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 3、设计思路 建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。 为此我们根据“情境—问题”教学模式，沿着“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计： ①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景； ②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。 ③为了解决提出的问题，引导学生从原有的'知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点；二是如何将向量关系转化成数量关系。 ④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。 二、教学反思 本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。 例如，新课的引入，我引导学生从向量的模下手思考： 生：利用向量的模并借助向量的数量积。 教师：正确！由于向量的模长，夹角已知，只需将向量用向量来表示即可。易知，接下来只要把这个向量等式数量化即可。如何实现呢 学生：通过向量数量积的运算。 通过教师的引导，学生不难发现还可以写成，不共线，这是平面向量基本定理的一个运用。因此在一些解三角形问题中，我们还可以利用平面向量基本定理寻找向量等式，再把向量等式化成数量等式，从而解决问题。 （从学生的“最近发展区”出发，证明方法层层递进，激发学生探求新知的欲望，从而感受成功的喜悦。） 创设数学情境是“情境·问题·反思·应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。 从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材解三角形应用举例的例1实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。 “情境·问题·反思·应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程。把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。 【《余弦定理》教学设计】相关文章： 余弦定理优秀教学设计08-25 余弦定理优秀教学设计8篇（精）03-12 高三数学《余弦定理》评课稿07-22 《杯子的设计》教学设计03-14 an教学设计06-13 教学设计09-05 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