关于约数和倍数的教学实录
一、教学内容：原通用教材六年制小学数学第十册第32—33页例1、例2，练习九第4—7题。
二、教学目的：使学生理解约数和倍数的意义，初步学会寻找一个数的约数和倍数的方法。
三、教学过程：
师：同学们，我们已经学习了自然数、整数和整除的知识。现在老师想了解一下，你们对这些知识学得怎么样。请同学们想一想：什么样的数叫做自然数？
生：用来表示物体个数的1、2、3、4……等都叫做自然数。
师：很好。那么，有没有最小的自然数呢？
生：有最小的自然数。
师：最小的自然数是几？
生：最小的自然数是1。
师：有没有最大的自然数？
生：没有。
师：为什么？
生：因为自然数是无限的。
师：因为自然数的个数是无限的，所以就没有最大的自然数。那么，请大家想一想：零是不是自然数？
生：零不是自然数。零是整数。
师：为什么零不是自然数？
生：因为零不能够表示物体的个数。
师：零不是通过数物体个数得来的，所以零不是自然数。[出示小黑板]大家来看看，小黑板上的两句话对不对？先看第一句话。
生：“零和自然数都是整数”这句话是对的。
师：再看第二句。
生：“整数就是零和自然数”这句话是错的。因为除了零和自然数以外，还有我们没有学过的整数。
师：对！除了零和自然数以外，还有其他的整数，不过现在我们还没有学到。现在请大家想想：什么叫做整除？
生：数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，数a能被数b整除。
师：这里所说的数a和数b，一般指的是什么数？
生：一般指的是自然数。
师：好。[出示小黑板]现在来看看这些算式里哪些是属于整除？
生：“15÷3=5”是整除，“24÷2=12”是整除，“8÷4=2”是整除。
师：那么其他几个算式是不是属于整除？[指“14÷3＝4……2”]这是不是整除？为什么？
生：不是。因为它有余数。
师：[指“25÷2=12.5”]这个算式呢？
生：不是。因为它的商是小数。
师：[指“0.8÷0.4=2”]这个算式呢？
生：也不是。因为它的被除数和除数都是小数。
师：对。只有被除数、除数和商都是整数，而且没有余数，才是整除。大家对这方面的知识学得很好。今天，我们要在这个基础上继续学习约数和倍数。[板书“约数和倍数”]通过这节课的学习，要求每个同学都要弄清楚什么叫做约数，什么叫做倍数，并且要学会找一个数的约数和倍数的方法。
师：[指着小黑板上“15÷3=5”的算式]我们知道，15能被3整除。我们就说，15是3的倍数，3是15的约数。请同学们跟老师一起说。
师：[合]15是3的倍数，3是15的约数。
生：
师：我们还可以这样说：因为15能被3整除，所以15是3的倍数，3是15的约数。一齐说一遍。
师：
生：[合]因为15能被3整除，所以15是3的倍数，3是15的约数。
师：现在大家再看第二个能够整除的算式。[指“24÷2=12”]在这里，哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的约数？
生：24是2的倍数，2是24的约数。
师：[指“8÷4=2”]在这个算式里呢？
生：8是4的倍数，4是8的约数。
师：我们再来看这个算式。[指“0.8÷0.4=2”]能不能说0.8是0.4的倍数，0.4是0.8的约数呢？
生：不能。因为除数和被除数都是小数。
师：也就是说，0.8÷0.4=2这个算式不是整除，所以不能说0.8是0.4的倍数或0.4是0.8的约数。我们说一个数是另一个数的倍数或约数时，有一个前提，那就是要能够整除。现在你们能不能自己举出一些例子来说明倍数和约数？生(1)：6÷3=2。6是3的倍数，2是6的……3是6的约数。
师：6是3的倍数，3是6的约数。他刚才还想说2是6的约数。大家想一想，2是不是6的约数？
生：是的。
师：因为6÷2=3，所以2也是6的约数。现在请哪个同学再来举几个例子。生(2)：60÷5=12，60是5的倍数，5是60的约数。
生(3)：24÷8=3，24是8的倍数，8是24的约数。
师：现在请大家想想：什么叫做约数？什么叫做倍数？生(1)：在整除的情况下，被除数是除数的倍数，除数是被除数的约数。生(2)：a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数。
师：现在请大家把课本翻到第32页，看看书上是怎样说的，然后再把它们读一遍。
生：[齐]如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
师：[出示小黑板]请看下面的说法对不对。第一句是“21是7的倍数，7是21的约数。”这句话对不对？
生：[齐]对。
师：再看第二句：“6是6的倍数，6也是6的约数。”这句话对不对。
生：这句话是对的。
师：为什么？
生：因为6÷6=1，6能被6整除，所以6是6的倍数，6也是6的约数。
师：再看这一句：“20是倍数，10是约数。”这种说法对不对？
生：不对。因为它只告诉我们：“20是倍数，10是约数。”没有告诉我们20是哪个数的倍数，10是哪个数的约数。
师：是的。光说一个数是倍数或一个数是约数，这种说法是很不清楚的。20是4的倍数，20是40的约数。所以今后在说约数或倍数的时候，一定要说清楚哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的约数。[继续出示小黑板，让学生判断各组数中，哪个数是另一个数的约数，哪个数是另一个数的倍数]第一组：72和8。
生：72是8的倍数，8是72的约数。
师：第二组：140和20。
生：140是20的倍数，20是140的约数。
师：第三组：35和105。
生：105是35的倍数，35是105的约数。
师：第四组：50和1000。
生：1000是50的倍数，50是1000的约数。
师：说得很好。现在我们要学习寻找约数的方法。比如，要找15的约数有哪几个，24的约数有哪几个。[出示例1]要找15的约数有哪几个，可以这样想：15分别能被哪些数整除？可以从最小的数找起。你们找一找。
生(1)：15能被1整除。[教师板书：1]
生(2)：15能被3整除。[教师板书：3]
生(3)：15能被5整除。[教师板书：5]
生(4)：15能被15整除。[教师板书：15]
师：15除了能被这4个数整除以外，还能不能被其他什么数整除？
生：[齐]没有了。
师：这就是说，15只能被1、3、5、15这四个数整除。那我们就说，15的约数有1、3、5、15四个。[在1、3、5、15前板书：“15的约数有：”]会找一个数的约数了吗？用这种方法找一找，24的约数有哪几个？从小到大开始去找。
生(1)：24的约数有1、2、3、4、6、8、24。[教师板书：l、2、3、4、6、8、24]
生(2)：还有12。[教师在“8”和“24”之间板书“12”]
师：刚才我们用除的方法来找15和24的约数。用这种方法去找约数，比较慢。如果一个数的约数比较多的话，就容易把其中的某些约数漏掉，像刚才那位同学找24的约数就漏掉了12。
请同学们想想，能不能找出一种既快又不容易漏掉的好方法？
生：可以一对一对地找。例如用24除以1，就得到24。
师：这就是说，在整除的情况下，除数和商都是被除数的约数，这实际上就是用乘的方法去找。比如15，想几和几相乘得15，1×15=15，3×5=15，就得到15的约数有1、15、3、5。[在15的约数旁边板书：]下面请同学们用这种方法找100的约数有哪几个。
生(1)：1和100，2和50，4和25，5和20。
生(2)：还有10和10。
[教师先后板书：]
师：最后找的两个因数都是10，我们写约数时只写一个10。
师：请同学们再看一看，这些数的约数有没有全部找出来？
生：[齐]全部找出来了。
师：从刚才找约数的过程中，你发现了什么？[略等片刻]最小的约数都是几？最大的约数都是什么样的数？
生：最小的约数都是1。15的约数中最大的是15，24的约数中最大的是24，100的约数中最大的是100。
师：这就是说，在一个数的所有约数中，最小的约数是1，最大的约数是它的本身。因为一个数的约数不会小于1，也不会大于它的本身，所以一个数的约数的个数是有限的。[出示小黑板]下面请同学们看一看这些说法对不对？应该怎样说才对？
师：[读题]42的约数有2、3、6、7、14、21。
生：错的。42的约数还有1和42。
师：这句话错就错在少了42最小的约数1和42最大的约数42。我们在寻找一个数的约数的时候，很容易会把最小的约数1和最大的约数——即这个数的本身给忘了。请大家要注意。再看下面一句：“25的约数有1、5、5、25。”这句话对不对？
生：这句话也是错的。应该说，25的约数有1、5、25。
师：这句话里多了一个5，就重复了。下面请哪个同学说说，10的约数有哪几个？
生：10的约数有1、2、5、10。
师：13的约数呢？
生：13的约数有1和13。
师：36的约数呢？
生(1)：36的约数有1、2、3、6、8、12、24、36。
师：他说得对不对？
生(2)：他说错了。应该是，36的约数有1、36；2、18；3、12；4、9；6。
师：对。一对一对找一个数的约数就不容易发生错误。现在再来学习寻找倍数的方法。[出示例2]2的倍数有哪些？3的倍数有哪些？要找一个数的倍数，可以这样来想：这个数的1倍是多少，2倍是多少，3信是多少，依此类推。现在大家先来找2的倍数。
生：有2、4、6、8、10，等等。[教师板书：2、4、6、8、10]
师：还有多少？能把它们全部写下来吗？
生：还有很多很多，不能全部写下来。
师：那我们就在后面用省略号表示。[在“10”的后面板书：……]读的时候，这里的省略号可以读成“等等”。现在再来看3的倍数。
生：3的倍数有3、6、9、12，等等。[教师板书：3、6、9、12、……]
师：为什么前面找约数的时候，最后用句号表示。而在这里找倍数时，后面用省略号来表示？
生：因为15、24和100的约数全找出来了，而2和3的倍数还没有写完。
师：一个数的约数的个数是有限的，全都找出来了，最后就用句号表示。而一个数的倍数的个数是无限的，不可能全部找出来，所以后面用省略号来表示。现在来看看，一个数的最小的倍数是什么样的数？
生：一个数最小的倍数是它本身。
师：有没有最大的倍数呢？
生：没有。
师：为什么？
生：因为自然数是无限的。
师：因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。[出示小黑板]看看下面的说法对不对？把不对的地方改过来。先看第一句：5的倍数有10、15、20、25，等等。
生：倍数里少个5。应该说，5的倍数有5、10、15、20、25，等等。
师：对。再看下面一句：6的倍数有6、12、24、48，等等。
生：这一句也错的。在12和24中间，少了个18。
师：对。48后面用了省略号，表示48后面还有很多6的倍数没写出来；48前面没有省略号，在48前面6的倍数就要一个不漏地按顺序写出来。再看第三句：7的倍数有7、14、21、28。
生：错的。在28后面不应该用句号，应该用省略号。
师：请看第四句：10以内3的倍数有3、6、9。
生：这一句是对的。
师：这里用了句号也是对的吗？为什么？
生：是对的，因为10以内3的倍数到9就为止了。
师：很好。因为题目限制了是10以内的。10以内的3的倍数只有3个，所以在最后用了句号。现在请同学们分别说出10、13、36的倍数有哪些，可以按从小到大的顺序先说出5个，后面再用“等等”表示。
生(1)：10的倍数有10、20、30、40、50，等等。
生(2)：13的倍数有13、26、39、52、65，等等。
生(3)：36的倍数有36、72、108、144、180，等等。
师：刚才我们找出一个数的约数和倍数，都是用文字叙述表达出来的。除了用文字叙述表达外，还可以用图来表示。现在请大家把课本翻到第32页，看例1、例2下面的图，这就是用图来表示一个数的约数或倍数的。这种方法是，先画一个圈，圈的上面注明是哪个数的约数或倍数，然后把这个数的约数或倍数填在这个圈里。填写时，数和数之间要空开一点，不能紧挨在一起。在表示倍数的图里，还有许多倍数不可能全写出来，就在最后用省略号表示。现在请把课本翻到第33页，请大家用刚才讲的方法，把18的约数、20以内4的倍数和15的倍数，分别填在第6题的三个圈里。
[指名三人分别填在小黑板上，其他学生填在书上。填好后，出示小黑板进行评讲。然后引导学生阅读课文，齐读第32页的第一节和例1、例2后面的结论]
师：大家还有什么问题吗？如果没有问题了，有两道题请大家回答一下。先看课本第34页的第7题。说一说，在下面的数中，哪些是60的约数，哪些是6的倍数？
生：[看课本回答]3、4、12、60是60的约数；12、24、60是6的倍数。
师：[出示小黑板]在下面的几个数中，哪个数是哪个数的约数？哪个数是哪个数的倍数？
生(1)：4是4、8、12、24的约数。
生(2)：4还是36、60的约数。
生(3)：36是4、6、12的倍数。
生(4)：36也是36的倍数。
生(5)：12是4、6、12的倍数，12是12、24、36、60的约数。
……
师：通过这堂课的学习，我们懂得了什么？
生(1)：我懂得了什么叫做约数，什么叫做倍数。
生(2)：我懂得了一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
生(3)：我还懂得了一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
生(4)：我还学会了找一个数的约数和倍数的方法。
师：好。回去以后把这部分课文再看看，并把第34页的第8题做在自己的本子上。
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