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数论问题试题分析

时间：2022-07-03 10:20:04 语文我要投稿

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关于数论问题试题分析

　　1、下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数?

关于数论问题试题分析

　　□+□=□ □-□=□ □×□=□ □÷□=□

　　2、任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数?

　　3、一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

　　试问：这串数的前100个数(包括第100个数)中，有多少个偶数?

　　4、能不能将1010写成10个连续自然数之和?如果能，把它写出来;如果不能，说明理由。

　　5、能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和?

　　6、在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分。今有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局。现知，其中有一位学生共得7分，另一位学生共得20分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。

　　7、在黑板上写上1，2，…，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b(其中a≥b)。问：最后黑板上剩下的是奇数还是偶数?

　　在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法.例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.

　　(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数.

　　(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数.

　　分析：(1)关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1“，就是用连续的整数的和的形式来表达种数;根据(1)知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15);有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

　　(2)有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2，3、6、9、10、27个数相加：

　　364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40.

　　解答：解：根据(1)知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15);

　　有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

　　根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，

　　有连续的2，3、6、9、10、27个数相加：

　　364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40

　　8、设a1，a2，…，a64是自然数1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;……

　　这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数?

　　1、至少有6个偶数。

　　2、奇数。解：1234÷2=617，所以在任取的1234个连续自然数中，奇数的个数是奇数，奇数个奇数之和是奇数，所以它们的总和是奇数。

　　3、33。提示：这串数排列的规律是以“奇奇偶”循环。

　　4、不能。

　　如果1010能表示成10个连续自然数之和，那么中间2个数的和应当是1010÷5=202。但中间2个数是连续自然数，它们的和应是奇数，不能等于偶数202。所以，1010不能写成10个连续自然数之和。

　　5、不能。提示：仿例3。

　　6、证：设得7分的学生胜了x1局，败了y1局，得20分的学生胜了x2局，败了y2局。由得分情况知：

　　x1-y1=7，x2-y2=20。

　　如果比赛过程中无平局出现，那么由每人比赛的场次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶数。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2为奇数，由x2-y2=20知x2+y2为偶数，推知x1+y1+x2+y2为奇数。这便出现矛盾，所以比赛过程中至少有一次平局。

　　7、奇数。解：黑板上所有数的和S=1+2+…+909是一个奇数，每操作一次，总和S减少了a+b-(a-b)=2b，这是一个偶数，说明总和S的奇偶性不变。由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数。

　　8、偶数。

　　解：我们知道，对于整数a与b，a+b与a-b的奇偶性相同，由此可知，上述计算的第二步中，32个数。

　　a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，

　　分别与下列32个数。

　　a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，

　　有相同的奇偶性，这就是说，在只考虑奇偶性时，可以用“和”代替“差”，这样可以把原来的计算过程改为

　　第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;

　　第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;

　　第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;

　　……

　　最后一步所得到的数是a1+a2+…+a63+a64。由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一个排列，因此它们的总和为1+2+…+64是一个偶数，故最后一个整数是偶数

　　将1，2，3这3个数字选出1个、2个、3个按任意次序排列出来可得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中的质数都写出来.

　　分析：按要求写出所有一位数，二位数，三位数，然后选出质数即可.

　　解答：解：一位数为：1，2，3，

　　二位数为：12，13，21，23，31，32，

　　三位数为：123，132，213，231，312，321，

　　其中质数为2，3，13，23，31.

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