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数学公式立方和公式证明

时间：2020-10-22 09:51:27 其他我要投稿

数学公式立方和公式证明

　　立方和公式证明

数学公式立方和公式证明

　　我们知道：

　　0次方和的求和公式ΣN^0=N+1

　　1次方和的.求和公式ΣN^1=N(N+1)/2

　　2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6

　　取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

　　系数可由杨辉三角形来确定

　　那末就有：

　　(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

　　N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

　　(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

　　...................

　　2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

　　于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

　　左边=(N+1)^4-1

　　右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

　　所以呢

　　把以上这已经证得的三个公式带入

　　4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

　　得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

　　移项后得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4(N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

　　等号右侧合并同类项后得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4(N^4+2N^3+N^2)

　　即

　　1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4[N(N+1)]^2

　　大功告成!

　　立方和公式推导完毕

　　1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4[N(N+1)]^2

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