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数学运用公式二教学设计参考
2.3.2 运用公式法(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式.
(二)能力训练要求
在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中,培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
(三)情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法、完全平方公式,分解因式,进一步培养学生的观察和联想能力.
●教学重点
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.
●教学难点
让学生学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式.
●教学方法
观察—发现—运用法
●教具准备
投影片两张
第一张(记作2.3.2 A)
第二张(记作2.3.2 B)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们知道,因式分解是整式乘法的反过程,倒用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提取公因式法、运用平方差公式法.现在,大家自然会想,还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?
在前面我们不仅学习了平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
而且还学习了完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2
本节课,我们就要学习用完全平方公式分解因式.
Ⅱ.新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
[师]由因式分解和整式乘法的关系,大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢?
[生]可以.
将完全平方公式倒写:
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
便得到用完全平方公式分解因式的公式.
[师]很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢?请大家互相交流,找出这个多项式的特点.
[生]从上面的式子来看,两个等式的左边都是三项,其中两项符号为“+”,是一个整式的平方,还有一项符号可“+”可“-”,它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解.
[师]左边的特点有(1)多项式是三项式;
(2)其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;
(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点:这两数或两式和(差)的平方.
用语言叙述为:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
投影(2.3.2 A)
练一练
下列各式是不是完全平方式?
(1)a2-4a+4;
(2)x2+4x+42;
(3)4a2+2ab+ b2;
(4)a2-ab+b2;
(5)x2-6x-9;
(6)a2+a+0.25.
[师]判断一个多项式是否为完全平方式,要考虑三个条件,项数是三项;其中有两项同号且能写成两个数或式的平方;另一项是这两数或式乘积的2倍.
[生](1)是.
(2)不是;因为4x不是x与2乘积的2倍;
(3)是;
(4)不是.ab不是a与b乘积的2倍.
(5)不是,x2与-9的符号不统一.
(6)是.
2.例题讲解
[例1]把下列完全平方式分解因式:
(1)x2+14x+49;
(2)(+n)2-6( +n)+9.
[师]分析:大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.
解:(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2
(2)( +n)2-6( +n)+9=( +n)2-2( +n)×3+32=[( +n)-3]2=( +n-3)2.
[例2]把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6ax+3a2;
(2)-x2-42+4x.
[师]分析:对一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式分解时,要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“-”号,然后再用完全平方公式分解因式.
解:(1)3ax2+6ax+3a2
=3a(x2+2x+2)
=3a(x+)2
(2)-x2-42+4x
=-(x2-4x+42)
=-[x2-2x2+(2)2]
=-(x-2)2
Ⅲ.课堂练习
a.随堂练习
1.解:(1)是完全平方式
x2-x+ =x2-2x +( )2=(x- )2
(2)不是完全平方式,因为3ab不符合要求.
(3)是完全平方式
2+3 n+9n2
=( )2+2× ×3n+(3n)2
=( +3n)2
(4)不是完全平方式
2.解:(1)x2-12x+362
=x2-2x6+(6)2
=(x-6)2;
(2)16a4+24a2b2+9b4
=(4a2)2+24a23b2+(3b2)2
=(4a2+3b2)2
(3)-2x-x2-2
=-(x2+2x+2)
=-(x+)2;
(4)4-12(x-)+9(x-)2
=22-2×2×3(x-)+[3(x-)]2
=[2-3(x-)]2
=(2-3x+3)2
b.补充练习
投影片(2.3.2 B)
把下列各式分解因式:
(1)4a2-4ab+b2;
(2)a2b2+8abc+16c2;
(3)(x+)2+6(x+)+9;
(4) - +n2;
(5)4(2a+b)2-12(2a+b)+9;
(6) x2-x4-
解:(1)4a2-4ab+b2=(2a)2-22ab+b2=(2a-b)2;
(2)a2b2+8abc+16c2=(ab)2+2ab4c+(4c)2=(ab+4c)2;
(3)(x+)2+6(x+)+9
=(x++3)2;
(4) - +n2=( )2-2× ×n+n2=( -n)2;
(5)4(2a+b)2-12(2a+b)+9
=[2(2a+b)]2-2×2(2a+b)×3+32
=[2(2a+b)-3]2
=(4a+2b-3)2;
(6) x2-x4-
=-(x4- x2+ )
=-[(x2)2-2x2 +( )2]
=-(x2- )2
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是:
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号,且都可以写成某数或式的平方,另一项则是这两数或式的乘积的2倍,符号可正可负.
同时,我们还学习了若一个多项式有公因式时,应先提取公因式,再用公式分解因式.
Ⅴ.课后作业
习题2.5
1.解:(1)x22-2x+1=(x-1)2;
(2)9-12t+4t2=(3-2t)2;
(3)2++ =(+ )2;
(4)252-80 +64=(5 -8)2;
(5) +x+2=( +)2;
(6)a2b2-4ab+4=(ab-2)2
2.解:(1)(x+)2+6(x+)+9
=[(x+)+3]2
=(x++3)2;
(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2
=[a-(b+c)]2
=(a-b-c)2;
(3)4x2-4x2-3
=(4x-4x2-2)
=-(4x2-4x+2)
=-(2x-)2;
(4)-a+2a2-a3
=-(a-2a2+a3)
=-a(1-2a+a2)
=-a(1-a)2.
3.解:设两个奇数分别为x、x-2,得
x2-(x-2)2
=[x+(x-2)][x-(x-2)]
=(x+x-2)(x-x+2)
=2(2x-2)
=4(x-1)
因为x为奇数,所以x-1为偶数,因此4(x-1)能被8整除.
Ⅵ.活动与探究
写出一个三项式,再把它分解因式(要求三项式含有字母a和b,分数、次数不限,并能先用提公因式法,再用公式法分解因式.
分析:本题属于答案不固定的开放性试题,所构造的多项式同时具备条件:①含字母a和b;②三项式;③可提公因式后,再用公式法分解.
参考答案:
4a3b-4a2b2+ab3
=ab(4a2-4ab+b2)
=ab(2a-b)2
●板书设计
2.3.2 运用公式法(二)
一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点
投影片(2.3.2 A)
2.例题讲解
例1、例2
二、课堂练习
a.随堂练习
b.补充练习(投影片2.3.2 B)
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式
1.-4x-4x2-2;
2.3ab2+6a2b+3a3;
3.(s+t)2-10(s+t)+25;
4.0.25a2b2-abc+c2;
5.x2-6x+9;
6.2x32-16x2+32x;
7.16x5+8x32+x4
参考答案:
解:1.-4x-4x2-2
=-(4x2+4x+2)=-(2x+)2;
2.3ab2+6a2b+3a3=3a(b2+2ab+a2)=3a(a+b)2;
3.(s+t)2-10(s+t)+25=[(s+t)-5]2=(s+t-5)2;
4.0.25a2b2-abc+c2=(0.5ab-c)2;
5.x2-6x+9=(x2-6x+9)=(x-3)2;
6.2x32-16x2+32x=2x(x22-8x+16)=2x(x-4)2;
7.16x5+8x32+x4=x(16x4+8x22+4)=x(4x2+2)2.
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