数学多边形内角和公式的推导方法

其他 时间:2017-10-24 我要投稿
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  利用多边形的内角和来解决问题是我们在解题时经常遇到的,而知道多边形的外角和是多少也同样重要.在学习中我们知道任意多边形的外角和都为360,内角和公式为(n-2)180,利用这两个知识点可以解决多边形的内角、外角、边数及对角线等问题,现就一些例题进行一下例析.

  一.求多边形的边数

  例1.一个正多边形的内角和是900,则这个多边形的边数是_________.

  分析:设此多边形边数为n,利用多边形内角和公式,得到(n-2)180=900,解得n=7,所以这个多边形的边数为7.

  例2.一个多边形的内角和与外角和相等,那么这个多边形是__________.

  分析:设多边形边数为n,其内角和为(n-2)180,外角和为360,因为这个多边形内、外角和相等,可得(n-2)180=360解得n=4.所以这个多边形是四边形.

  例3.如果正多边形的一个外角为72,那么它的边数是( )

  分析:其中一种思考方法为:因为多边形的外角和为360,而一个外角为72,所以它的边数

  为36072另一种思考方法为:因为正多边形的一个外角为72,可以得出与它相邻的内角为180-72=108,因多边形的内角和为(n-2)180,可得(n-2)180=108n,解这个方程得:n=5.

  例4.一个多边形的内角和是外角和的4倍,求这个多边形的边数.

  分析:此题可设多边形的边数为n,因为多边形内角和为(n-2)180,多边形的外角和为360,所以根据题意可得:(n-2)180=3604,解得n=10.所以这个多边形的边数为10.

  二.求多边形的内角度数

  例3:正六边形每个内角的度数为_________.

  分析:因为多边形的外角和为360,所以正六边形每个外角的度数为 ,所以每个内角的度数为180-60=120此题也可利用多边形的内角和来解为 .

  三.求多边形对角线的条数

  例4:一个多边形的每个外角都为36,则这个多边形的对角线有_______条.

  分析:因为这个多边形的每个外角都是36,所以这个多边形是正多边形.设这个正多边形的边数为n,则n= ,所以这个多边形是正十边形.因为多边形对角线的总条数为 ,所以这个多边形的对角线的条数为 .

  四.实际应用

  1.某装修公司到商场买同样一种多边形的地砖平铺地面,在以下四种地砖中,你认为该公司不能

  买( )

  A 正三角形的地砖 B 正方形地砖 C 正五边形地砖 D 正六边形地砖

  分析:要使买的同样一种多边形的地砖能平铺地面,则它的几个角能构成360,因正三角形三个内角和为180,所以它符合标准;正方形的四个内角和为360,所以它也符合要求;而正五边形它的一个内角为108,360不能被108整除,所以正五边形不符合要求;用同样的道理可知正六边形符合要求.所以此题选C.