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关于几何平均数的意义和用途
根据资料的条件不同，几何平均数有加权和不加权之分。中国古代数学书中提到的矩形面积时往往用长宽的几何平均数来表示。本文小编精心收集的几何平均数的意义，仅供参考！
我们知道算术平均数，(a+b)/2,体现纯粹数字上的关系，
而根号ab,称为几何平均数，这个体现了一个几何关系，
作一正方形，使其面积等于以a,b为长宽的矩形，则该正方形的边长即为a、b的几何平均数
中国古代数学书中提到的矩形面积时往往用长宽的几何平均数来表示。
计算几何平均数要求各观察值之间存在连乘积关系，它的主要用途是：
1、对比率、指数等进行平均;
2、计算平均发展速度;
其中：样本数据非负，主要用于对数正态分布。
3、复利下的平均年利率;
4、连续作业的车间求产品的平均合格率。
【延伸阅读】
调和平均数的意义
①调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。
②只要有一个标志值为0，就不能计算调和平均数。
③当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算，假定性也很大，这时的调和平均数的代表性很不可靠。
④调和平均数应用的范围较小。在实际中，往往由于缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数，这时需用调和平均法来求得平均数。
加权平均数的意义
加权平均数的概念在描述统计学中具有重要的意义，并且在其他数学领域产生了更一般的形式。
如果所有的权重相同且等于一，那么加权平均数与算术平均数相同。加权平均数作为算术平均数的更广义的表现形式，加权平均数具有一些看起来违反常理的性质，例如辛普森悖论。
术语加权平均数通常指的是加权算术平均数，但是其他平均数的加权版本也可以计算出来，例如加权几何平均数和加权调和平均数。
算术平均数的意义
①算术平均数是一个良好的集中量数，具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等优点。
②算术平均数易受极端数据的影响，这是因为平均数反应灵敏，每个数据的或大或小的变化都会影响到最终结果。
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拓展
教学指导思想：新的教学理念下课堂教学已经是一个多维度多中心的整体。教师学生都是参与课堂的主体，而教学设计与实验则是课堂的载体，它将调度师生共同参与教学活动，并在参与中尽量获取知识与能力上的探讨，共鸣与思维能力的升华与内化。教学应该揭示事物发展规律的呈现，注重学生把数学问题取之生活，用之生活。 本案将从现实中提取生活素材，引导学生在生活去发现问题，提炼猜想归纳，分析解决，得出事物或者问题发展规律；在此过程中学生得到的是自身发现能力的挖掘，建构模型的开发，问题解决能力的提高以及综合创新与创造力的潜能训练，这将有利于学生的素质和终身学习能力的培养。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
算术平均数与几何平均数是不等式这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到工具性作用。通过本章的学习有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值值域进一步研究，起到承前启后的作用。
2、教学内容
本节课的主要教学内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推理论证的基础上学会应用。
3、教学目标
教学目标是基于对教材，教学大纲和学生学情的分析相应制定的。在新课程理念的指导下，更为关注学生的合作交流能力的培养，关注学生探究问题的习惯和意识的培养。因此，结合本节课内容与实验，设计本节课教学目标如下：
知识与技能：对于算术平均数与几何平均数的理解以及定理的掌握；
过程与方法：通过情景设置提出问题，揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度，多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力。
情感态度价值观： 培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的习惯，有利于数学生活化，大众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦。
教学重点： 算术平均数与几何平均数的理解以及定理的掌握；
教学难点：算术平均数与几何平均数以及定理发现探索过程的构建及应用；
教学关键：学生对于实验的实践及函数模型的构建。
教学模式：探究式 合作式
二、学情分析
学生已经掌握了不等式的基本性质，高中的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索，发现问题和解决问题。现在经历课改的学生不仅仅停留在接受学习的框框内，他们更需要充满活力与创造发现的课堂。课堂实验可能存在问题：对EXEL软件不够熟练。对于模型构造思路不够清晰。
三、教法分析
不同于传统的讲授课，基于数学实验的教学实践课，教师的教应有瞻前性，应该在实验课前让学生对于软件的应用有充分的准备，并进行分组讨论得到数学模型。依据前苏联教育家赞可夫"问题教学法"确定本堂课所采用的教学方法是"生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题，总结问题，论证后延拓问题"五环节教学方法，运用这种教学方法能更好地使学生经历实验的发生，发展和"再创造"的全过程，主动地吸收新知识的精髓。
四、学法指导
新的教学理念下课堂教学已经是一个多维度多中心的整体。教师学生都是参与课堂的主体，而教学设计与实验则是课堂的载体，它将调度师生共同参与教学活动，并在参与中尽量获取知识与能力上的探讨，共鸣与思维能力的升华与内化。教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。根据数学实验课的教学特点，这节课主要是教给学生"动手做，动脑想；多训练，多实践。"的研讨式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体。通过这样使学生"学"有新"思"，"思"有所"得"，"练"有所"获"。学生才会学习数学中体验发现的成就感，从而提高学生学习数学的兴趣；在此过程中，学生学会了交流合作，并学以致用，才能适应素质教育下培养"创新型"人才的需要。
五、实验内容与实验程序：
问题：元旦晚会我们学校即将举行游园活动，每个班级有一条20米长的红丝带在灯光球场围成一矩形的场地活动，请问大家应该怎么围才能使我们班级的场地面积最大
1问题提炼：（用数学语言表达）
2实验步骤：
A 请根据题目要求选择整数长度为边，按照制图方法绘制5个矩形，并比较面积
B 把上面的矩形按照边长与面积的不同列表归纳
长度（m）
宽度 （m）
面积 （）
C 根据以上表格数据，请用exel软件作出柱状图，并思考以下问题：
（1）在边长变化过程中，面积的大小变化情况与趋势
（2）由这种趋势请同学们自己猜想总结一个结论。
3 实验的感言与进一步构造数学模型的思考。
六、教学流程
1，生活问题创设情景：通过生活问题设置情景并构建实验
2，构建模型解决问题：学生通过合作讨论构建函数及不等式解决问题并发现均值不等式
3，定理总结结论表述：用数学语言表达均值不等式并用文字语言总结陈述
4，定理论证课堂练习：用几何与代数方法分别论证结论并进行课堂练习
5，学习感言教学小结：由学生发表学习感言，老师总结本堂课的学习过程与学习方法。学习过程：发现问题――实验猜想――构建模型――发现规律――论证再运用；学习方法：协作探讨，自主实验，猜想证明，发现应用。
七、教学反馈评价
本节课利用生活问题设计数学实验，是现阶段新课程改革的新试点，是学生进行数学研究性学习与自主学习的一重要手段与途径。
本节课通过生活问题的合作交流探讨，学生学习方式有了新的改变；在实验的构造过程，学生的自主性，实践性，创造性得到锻炼与提高；在实验过程中学生的分工合作精神更是得到充分的考验与体现，学生学会了合作与分享；通过对数学模型的构建，学生更加体会进行自主研究，合作学习的乐趣，同时培养了学生创新精神与发现能力。
当然本节课的一个突出点在于从书本某一个知识作为切入点构造生活问题，设计数学实验，创造性地对教材进行再利用，再编改。使得学生在课堂，课外自主学习与接受知识的方法途径更加多样，参与课堂的方式更加深入，更容易通过自己探究体验发现的乐趣。这是传统教学所没办法达到的。
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