幂级数求和方法总结

幂级数求和方法总结

　　总结是对某一特定时间段内的学习和工作生活等表现情况加以回顾和分析的一种书面材料，写总结有利于我们学习和工作能力的提高，让我们一起认真地写一份总结吧。那么总结有什么格式呢？以下是小编为大家收集的幂级数求和方法总结，欢迎阅读与收藏。

　　关于幂级数求和的探讨

　　例1 求幂级数∑∞[]n=0xn[]n+1的和函数。

　　解 先求收敛域。由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收敛半径R=1。

　　在端点x=—1处，幂级数成为∑∞[]n=0（—1）n[]n+1，是收敛的交错级数；

　　在端点x=1处，幂级数成为∑∞[]n=01[]n+1，是发散的。因此收敛域为I=[—1，1]。

　　设和函数为s（x），即

　　s（x）=∑∞[]n=0xn[]n+1，x∈[—1，1）。（1）

　　于是

　　xs（x）=∑∞[]n=0xn+1[]n+1。（2）

　　利用性质3，逐项求导，并由

　　1[]1—x=1+x+x2+…+xn+…，（—1 得

　　[xs（x）]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1—x，（|x|<1）。（4）

　　对上式从0到x积分，得

　　xs（x）=∫x01[]1—xdx=—ln（1—x），（—1≤x≤1）。（5）

　　于是，当x≠0时，有s（x）=—1[]xln（1—x），

　　而s（0）可由s（0）=a0=1得出，

　　故

　　s（x）=—1[]xln（1—x），x∈[—1，0）∪（0，1），

　　1，x=0。（6）

　　一、错误及原因分析

　　1.忽略幂级数的起始项

　　例如在求解幂级数∑∞[]n=1xn的和函数时，有学生就很容易将其和函数写为s（x）=1[]1—x，而事实上其和应该为s（x）=x[]1—x。该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项，习惯性的把第一项默认为1。

　　2.忽略和函数的定义域

　　产生该错误的原因，主要是学生对和函数的概念理解不透彻，无穷多项求和其和并不总是存在的，即不总是收敛的，所以在求和函数时，首先要判断在哪些点处和是存在的，这些点的集合就是和函数的定义域，即幂级数的收敛域。

　　3.错误地给出和函数的定义域，即幂级数的收敛域

　　该错误的产生主要源于利用和函数的分析性质求解和函数时，忽略了收敛域的变化。上述例子中的（5）式就出现了这方面的错误。

　　4.忽略了收敛域中的特殊点

　　在上述例子式中，利用（5）求s（x）时，需要在等式两边同时除以x。此时，当x≠0时，才有s（x）=—1[]xln（1—x），因此，对x=0还要单独求解s（0）。

　　二、求幂级数和函数时应注意的问题及应对措施

　　1.标注和函数的定义域

　　和函数的定义域不同于一般函数的定义域，其定义域事实上为与和函数相对应的幂级数的收敛域，因此在和函数表达式之后应正确标注x的取值范围，即和函数的定义域。为避免在这里出现错误，在求解和函数时，应首先求出所求幂级数的收敛域。严格按照先求收敛域再求和函数的步骤求解能很好地解决这一问题（参看教材[1]中例6）。

　　2.注意收敛域与级数的匹配

　　利用和函数的分析性质求解和函数是解决幂级数求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性质2和性质3，简称为逐项求积和逐项求导。但这两条性质都只说明变化后的级数其收敛半径不发生变化，未对收敛域的情况进行详细说明。事实上，逐项积分后所得幂级数的收敛域有可能扩大，即有可能把收敛区间的端点包含进来；逐项求导后所得幂级数的收敛域有可能缩小，即有可能把收敛域的端点去掉。应对这一问题，只需要在利用逐项求导和逐项求积时，对端点处的收敛性重新判断即可。

　　3.注意等式变化过程中x的取值问题

　　比如在（5）式中，求解s（x）时，需要在等式两边同时除以x。此时x不能取零，但x=0又是收敛域中的点，因此需单独求解s（0）。对这一问题，需要在等式变化过程中，关注x的取值变化。对收敛域中不能取到的点x0，应单独求解s（x0）。可用以下两种方法，方法一：求解x=x0时对应的常数项级数的和。方法二：利用和函数的连续性求解x=x0时对应的常数项级数的和。

　　幂级数求和方法

　　1、逐项求导和逐项积分法：这种方法基于幂级数在收敛域上的一致收敛性。如果幂级数中含有xn的形式，可以考虑求导或积分。逐项求导后再积分或反过来，是求解这类幂级数和函数的一种常见方法。需要注意的是，在解题过程中，因为要逐项求导后再积分或反过来，步骤不理顺很容易乱，因此需要特别注意。

　　2、利用展开式直接求和：当级数的形式使得可以直接应用某些已知的级数和公式时，这种方法特别有用。例如，如果级数形式允许直接应用等比数列的求和公式，可以直接求解。

　　3、等比数列求和法：对于形如∑=0∞∑n=0∞anxn的幂级数，当∣∣<1∣x∣<1时，可以利用等比数列的求和公式111x1来求解。这种方法适用于当幂级数可以转化为等比数列时。

　　4、利用傅里叶级数求级数和：在某些情况下，可以通过傅里叶级数的性质来求解幂级数的和函数。这种方法在特定的数学问题中可能会用到。

　　5、先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用：这种方法适用于需要通过积分和微分操作来简化幂级数求和的情况。需要注意的是，在应用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。

　　6、特殊函数的幂级数展开：对于一些特殊函数，可以通过其幂级数展开形式来求解。这种方法需要知道特定函数的幂级数展开式，然后通过比较系数或应用已知的求和技巧来求解。

　　综上所述，幂级数的求和方法多样，具体应用哪种方法取决于幂级数的具体形式和所求解的问题类型。

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