基本不等式教学设计

基本不等式教学设计

　　作为一位优秀的人民教师，总归要编写教学设计，借助教学设计可以提高教学质量，收到预期的教学效果。优秀的教学设计都具备一些什么特点呢？以下是小编帮大家整理的基本不等式教学设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

基本不等式教学设计1

　　一、教学目标：

　　（一）知识与技能

　　1．掌握不等式的三条基本性质。

　　2．运用不等式的基本性质对不等式进行变形。

　　（二）过程与方法

　　1．通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。

　　2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。

　　（三）情感态度与价值观

　　通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。

　　二、教学重难点

　　教学重点：探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。

　　教学难点：不等式基本性质3的探索与运用。

　　三、教学方法：自主探究——合作交流

　　四、教学过程:

　　情景引入

　　1．举例说明什么是不等式？

　　2．判断下列各式是否成立？并说明理由。

　　( 1 )若x－6=10,则x＝16( )

　　( 2 )若3x=15,则x＝5 ( )

　　( 3 )若x－6＞10则x＞16( )

　　( 4 )若3x＞15则x＞5 ( )

　　【设计意图】（1）、（2）小题唤起对旧知识等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。

　　温故知新

　　问题1．由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？

　　等式性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。

　　估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。教师引导：“＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。

　　问题2．你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？

　　同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。

　　问题3．你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗？

　　等式性质2：等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），等式依然成立。

　　估计学生会猜：不等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），不等号的方向不变。

　　你能和小伙伴一起来验证你们的猜想吗？

　　学生在小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况。教师进一步引导学生通过分析、比较探索规律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3。

　　问题4．在不等式两边都乘0会出现什么情况？

　　问题5．如果a、b、c表示任意数，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性质表示出来码？

　　【想一想】不等式的'基本性质与等式的基本性质有什么相同之处，有什么不同之处？

　　学生思考，独立总结异同点。

　　【设计意图】引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”。

　　综合训练：你能运用不等式的基本性质解决问题吗？

　　1、课本62页例3

　　教师引导学生观察每个问题是由a＞b经过怎样的变形得到的，应该应用不等式的哪条基本性质。由学生思考后口答。

　　2、你认为在运用不等式的基本性质时哪一条性质最容易出错，应该怎样记住？

　　3、火眼金睛

　　①a＞1,则2a（）a

　　②a＞3a,则a（）0

　　【设计意图】通过变式训练，加深学生对新知的理解，培养学生分析、探究问题的能力。

　　课堂小结：

　　这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？教师引导学生回顾、思考、交流。

　　【设计意图】回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。

　　思考题

　　咱们班的盛芳同学准备在五、一期间和他的爸爸、妈妈外出旅游。青年旅行社的标准为：大人全价，小孩半价；方正旅行社的标准为：大人、小孩一律八折。若两家旅行社的基本价一样，你能帮盛芳同学考虑一下选择哪家旅行社更合算吗？

　　【设计意图】利用所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。

基本不等式教学设计2

　　【学习目标】

　　1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

　　2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

　　3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

　　【能力培养】

　　培养学生严谨、规范的学习能力，分析问题、解决问题的能力。

　　【教学重点】

　　应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；及其在求最值时初步应用

　　【教学难点】

　　基本不等式等号成立条件

　　【教学过程】

　　一、课题导入

　　基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，教师引导学生从面积的关系去找不等关系。

　　二、讲授新课

　　1．问题探究——探究图形中的不等关系。

　　将图中的“风车”抽象成如图，在正方形abcd中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的'和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

　　当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有。

　　2.总结结论：一般的，如果

　　（结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导）

　　3．思考证明：（让学生尝试给出它的证明）

　　4．特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得，通常我们把上式写作：

　　①从不等式的性质推导基本不等式

　　用分析法证明：（略）

　　②理解基本不等式的几何意义

　　探究：对课本第98页的“探究”（几何证明）

　　注:在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数。本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　5、例：当时，取什么值，的值最小？最小值是多少？

　　6、课时小结

　　本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）。它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数。它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将进一步学习它们的应用)。

　　7、作业：

　　课本第100页习题[a]组的第1、2题

　　板书设计

　　课题: 3.4基本不等式

　　一、两个不等式

　　二、例题及练习

基本不等式教学设计3

　　在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题。本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展。另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用。本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的通过分析得出基本不等式，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念。教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助。

　　教学重点

　　1、创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

　　2、从不同角度探索基本不等式的证明过程；

　　3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路。

　　教学难点

　　1、对基本不等式从不同角度的探索证明；

　　2、通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路。

　　教具准备多媒体及课件

　　三维目标

　　一、知识与技能

　　1、创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

　　2、尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；

　　3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件。

　　二、过程与方法

　　1、采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

　　2、教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

　　3、将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。

　　三、情感态度与价值观

　　1、通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

　　2、学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

　　3、通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

　　教学过程

　　导入新课

　　探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

　　（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）

　　推进新课

　　师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？

　　（沉静片刻）

　　生应该先从此图案中抽象出几何图形。

　　师此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？

　　（请两位同学在黑板上画。教师根据两位同学的板演作点评）

　　（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观。此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）

　　师同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确。这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩。

　　（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）

　　［过程引导］

　　师设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？

　　生显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和。

　　师一定吗？

　　（大家齐声：不一定，有可能相等）

　　师同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？

　　生每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab。正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab。

　　师这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？

　　生没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已。

　　师回答得很好。

　　（有的同学感到迷惑不解）

　　师这样的叙述不能代替证明。这是同学们在解题时经常会犯的错误。实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明。

　　（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）

　　师请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab。

　　生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

　　师同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？

　　生正确。

　　［教师精讲］

　　师这位同学的证明思路很好。今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样。

　　生实质一样，只是设问的形式不同而已。一个是比较大小，一个是让我们去证明。

　　师这位同学回答得很好，思维很深刻。此处的比较法是用差和0作比较。在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”。

　　（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）

　　生作商，用商和“1”比较大小。

　　师对。那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到。

　　（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）

　　［合作探究］

　　师请同学们再仔细观察一下，等号何时取到。

　　生当四个直角三角形的'直角顶点重合时，即面积相等时取等号。

　　（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）

　　师从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明。

　　生当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号。

　　师这位同学回答得很好。请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致。

　　（大家齐声）一致。

　　（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用。就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）

　　板书：

　　一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。

　　［过程引导］

　　师这是一个很重要的不等式。对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错。

　　（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此时，教师应及时点拨、指引）

　　师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

　　生完全可以。

　　师为什么？

　　生因为不等式中的a、b∈R。

　　师很好，我们来看一下代替后的结果。

　　板书：

　　即(a＞0,b＞0)。

　　师这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式。它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）

　　师请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？

　　（此时，同学们信心十足，都说能。教师利用投影片展示推导过程的填空形式）

　　要证：，①

　　只要证a+b≥2，②

　　要证②，只要证：a+b-2≥0，③

　　要证③，只要证：④

　　显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式。

　　（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）

　　［合作探究］

　　老师用投影仪给出下列问题。

　　如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

　　（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）

　　［合作探究］

　　师同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？

　　生可证△ACD ∽△BCD,所以可得。

　　生由射影定理也可得。

　　师这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？

　　生表示半弦长，表示半径长。

　　师半径和半弦又有什么关系呢？

　　生由半径大于半弦可得。

　　师这位同学回答得是否很严密？

　　生当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式(a＞0,b＞0)。

　　课堂小结

　　师本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？

　　生我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab。

　　生由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式(a＞0,b＞0)。进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式。

　　生在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式。

　　（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）

　　师大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式。并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立。在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法。以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用。

　　布置作业

　　活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,,的大小关系，并证明你的结论。

　　分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明。

　　（方法二）创设几何直观情景。设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。

　　板书设计

　　基本不等式的证明

　　一、实际情景引入得到重要不等式

　　a2＋b2≥2ab

　　二、定理

　　若a＞0，b＞0

　　课后作业：

　　证明过程探索：

基本不等式教学设计4

　　教学分析

　　本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展。在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小。

　　通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用。对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程。即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来。

　　在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望。根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小。

　　在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系。要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识。

　　三维目标

　　1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系。

　　2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围。

　　3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美。

　　重点难点

　　教学重点：比较实数与代数式的'大小关系，判断二次式的大小和范围。

　　教学难点：准确比较两个代数式的大小。

　　课时安排

　　1课时

　　教学过程

　　导入新课

　　思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课。

　　思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系。这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着。这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同。怎样利用不等式研究及表示不等关系？

　　2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。你能举出一些实际例子吗？

　　3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？

　　4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？

　　活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同。不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a

　　教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系。在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容。

　　实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.

　　实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA

　　实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。

　　实例4：两点之间线段最短。

　　实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

　　实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

　　实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

　　教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系。那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子。如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。

　　教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来。实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5|AC|+|BC|>|AB|，如下图。

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|

　　实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的。但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

　　对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论。

　　讨论结果：

　　(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。

　　(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b

　　应用示例

　　例1(教材本节例1和例2)

　　活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法。

　　点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握。

　　变式训练

　　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )

　　A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

　　C.f(x)

　　答案：A

　　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

　　2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小。

　　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　　∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.

　　例2比较下列各组数的大小(a≠b).

　　(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);

　　(2)a4-b4与4a3(a-b).

　　活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定。本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点。

　　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

　　∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

　　(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

　　=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

　　=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

　　∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]

　　∴a4-b4

　　点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号。变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用。

　　变式训练

　　已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小。

　　活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系。

　　解：xy-1=x-yy.

　　∵x>y，∴x-y>0.

　　当y

　　当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

　　点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论。

　　例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

　　活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法。

　　解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

　　由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.

　　所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了。

　　点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.

　　变式训练

　　已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )

　　A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

　　C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定

　　答案：A

　　解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

　　=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

　　∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.

　　又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

　　知能训练

　　1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )

　　A.3 B.2 C.1 D.0

　　2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小。

　　答案：

　　1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

　　∴只有①恒成立。

　　2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

　　课堂小结

　　1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中。

　　2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方。鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究。

　　作业

　　习题3—1A组3;习题3—1B组2.

　　设计感想

　　1.本节设计关注了教学方法的优化。经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式。各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动。也就是说，世上没有万能的教学方法。针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药。

　　2.本节设计注重了难度控制。不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点。作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响。

　　3.本节设计关注了学生思维能力的训练。训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学的主线。采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化。变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升。

　　备课资料

　　备用习题

　　1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小。

　　2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

　　3.已知x>0，求证：1+x2>1+x .

　　4.若x

　　5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小。

　　参考答案：

　　1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

　　=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

　　=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

　　2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

　　=m2-2m+5+2m-5

　　=m2.

　　∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

　　∴m2-2m+5≥-2m+5.

　　(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

　　=a2-4a+3+4a-1

　　=a2+2.

　　∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

　　∴a2-4a+3>-4a+1.

　　3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2

　　=1+x+x24-(x+1)

　　=x24，又∵x>0，∴x24>0.

　　∴(1+x2)2>(1+x)2.

　　由x>0，得1+x2>1+x.

　　4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

　　=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

　　=-2xy(x-y).

　　∵x0，x-y

　　∴-2xy(x-y)>0.

　　∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

　　5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.

　　当b>a>0时，0

　　则(ab)a-b>1.

　　于是aabb>abb a.

　　综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.

基本不等式教学设计5

　　一、内容和内容解析

　　本节课是北师大版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

　　教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

　　就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

　　就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

　　二、教学目标和目标解析

　　教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

　　在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

　　学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

　　进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

　　通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

　　三、教学问题诊断

　　在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的`思维，增强数形结合的思想意识。

　　另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式,使用的前提条件a,b>0同时又要注意区别基本不等式的使用条件为,因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。

　　四、教学支持条件分析

　　为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑3D技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。

　　五、教学设计流程图

　　教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。

　　六、教法和预期效果分析

　　本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

　　同时，以多媒体课件作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。

　　通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；

　　会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。

基本不等式教学设计6

　　一、教材分析

　　1、本节课的地位、作用和意义

　　基本不等式又称为均值不等式，选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社出版)必修5，第3章第3节内容。学生在初中学习了完全平方公式、圆、初步认识了不等式，同时，在本章前面两节学习了比较大小、一元二次不等式等，这些给本节课提供了坚实的基础；基本不等式是后面基本不等式与最大（小）值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用。

　　2、本节课的教学重点和难点

　　我通过解读新课标和分析教材，认为：

　　重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；再者，均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式以及其成立的条件也是教学重点。

　　突出重点的方法：我将采用①用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出均值不等式的推导；用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学来突出均值不等式及其成立的条件。

　　难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的.条件是本节课的难点。

　　突破难点的方法：我将采用用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学等等来突破均值不等式成立的条件这个难点。

　　二、教学目标分析

　　1、知识与技能目标

　　（2）理解的几何意义。

　　（3）能3分钟内写出基本不等式，并说明其成立的条件，准确率为95%

　　2、过程方法与能力目标

　　（1）探索并了解均值不等式的证明过程。

　　（2）体会均值不等式的证明方法。

　　3、情感、态度、价值观目标

　　（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。

　　（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。“探究”基本不等式的证明（1）

　　【三维目标】：

　　一、知识与技能

　　1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

　　2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

　　二、过程与方法

　　三、情感、态度与价值观

　　1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

　　【教学重点与难点】：

　　【学法与教学用具】：

　　2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）

　　【授课类型】：新授课

　　【课时安排】：1课时

　　【教学思路】：

　　一、创设情景，揭示课题

　　1.提问：与哪个大？

　　2.基本不等式的几何背景：

　　如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。

　　二、研探新知

　　重要不等式：一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立。

　　证明:

　　所以

基本不等式教学设计7

　　各位评委老师，上午好，我选择的课题是必修5第三章第四节《基本不等式》第一课时。关于本课的设计，我将从以下五个方面向各位评委老师汇报。

　　一、教材分析

　　◆本节教材的地位和作用

　　◆教学目标

　　◆教学重点、难点

　　1、本节教材的地位和作用

　　"基本不等式"是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。它是在学完"不等式的性质"、"不等式的解法"及"线性规划"的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

　　2、教学目标

　　（1）知识目标：探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。

　　（2）能力目标：培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。

　　（3）情感目标：培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

　　3、教学重点、难点

　　根据课程标准制定如下的教学重点、难点

　　重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

　　难点：基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

　　二、教法说明

　　本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示。采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动。运用生活中的实际例子，让学生享受解决实际问题的乐趣。课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话，使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、学会。

　　三、学法指导

　　为更好的贯彻课改精神，合理的对学生进行素质教育，在教学中，始终以学生主体，教师为主导。因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析，指导学生解决问题，感受知识的形成过程，培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。

　　四、教学设计

　　◆运用2002年国际数学家大会会标引入

　　◆运用分析法证明基本不等式

　　◆不等式的几何解释

　　◆基本不等式的应用

　　1、运用2002年国际数学家大会会标引入

　　如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标。会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的`明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。（展示风车）

　　正方形ABCD中，AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=_

　　从图形中易得，s≥s’，即

　　问题1:它们有相等的情况吗？何时相等？

　　问题2:当a,b为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）

　　一般地，对于任意实数a、b,我们有

　　当且仅当（重点强调）a=b时，等号成立（合情推理）

　　问题3:你能给出它的证明吗？（让学生独立证明）

　　设计意图

　　（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。

　　（2）运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观。

　　（3）三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解。

　　2、运用分析法证明基本不等式

　　如果a>0,b>0 ,用和分别代替a,b可以得到

　　也可写成

　　（强调基本不等式成立的前提条件"正"）（演绎推理）

　　问题4:你能用不等式的性质直接推导吗？

　　要证①

　　只要证②

　　要证② ,只要证③

　　要证③ ,只要证④

　　显然，④是成立的。当且仅当a=b时，不等式中的等号成立。

　　（强调基本不等式取等的条件"等"）

　　设计意图

　　（1）证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神；

　　（2）证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解；

　　（3）此种证明方法是"分析法",在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解。

　　3、不等式的几何解释

　　如图，AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则CD= ,半径为

　　问题5:你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）

　　设计意图

　　几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

　　4、基本不等式的应用

　　例1.证明

　　（学生自己证明）

　　设计意图

　　（1）这道例题很简单，多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明，能够练习"分析法"证明不等式的过程；

　　（2）学生能够加深对基本不等式的理解，a和b不仅仅是一个字母，而是一个符号，它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式；

　　（3）此例不是课本例题，比课本例题简单，这样，循序渐进，有利于学生理解不等式的内涵。

　　例2:（1）把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小？

　　（2）把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大？

　　（让学生分组合作、探究完成）

　　设计意图

　　（1）此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；

　　（2）强调利用不等式求最值的关键点："正""定""等";

　　（3）有利于培养学生团结合作的精神。

　　练习:（1）若a,b同号，则

　　（2）P113练习1.2

　　设计意图

　　巩固基本不等式，让学生熟悉公式，并学会应用。

　　小结：（让学生畅所欲言）

　　设计意图

　　有利于发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位。

　　作业：必做题：P 113 A组3、4

　　选做题：

　　设计意图

　　（1）必做题是让学生巩固所学知识，熟练公式应用，强化学生基础知识、基本技能的形成；

　　（2）选做题达到分层教学的目的，根据学生的实际情况，对他们进行素质教育。

　　时间安排：引入约5分钟

　　证明基本不等式约10分钟

　　几何意义约10分钟

　　知识应用约15分钟

　　小结约5分钟

　　五、板书设计

　　分析法证明

　　几何解释

　　例题讲解

　　小结

　　作业

　　例2

　　以上是我对这节课的教学设计，恳请各位评委老师指导，谢谢！

基本不等式教学设计8

　　知识与技能：

　　理解并掌握不等式的三个性质，能运用性质，用不等号连接某些代数式，进行不等式的变形。

　　过程与方法：

　　经历自主学习，小组交流合作学习，以及课堂上的成果，培养学生自主分析问题，解决问题的能力，养成与他人交流，共同学习，共同进步的学习方法。

　　情感态度与价值观：在自主分析，交流合作，成果的活动中，感受学习的乐趣，体会与人合作的快乐。

　　教学难点：

　　正确运用不等式的性质。

　　教学重点：

　　理解并掌握不等式的性质3。

　　教学过程：

　　一、创设情境引入新课

　　利用一台平衡的天平提出问题，引入新课

　　1、给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？

　　2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？

　　3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

　　二、合作交流探究新知

　　1、问题情景：数学老师比语文老师年龄小。

　　1、10年后谁的年龄大？

　　2、20年之后呢？

　　3、5年之前呢？

　　假设数学，语文两位老师的年龄分别为a，b，则a

　　a+10

　　a+20

　　a—5

　　2、探索与发现

　　一组：已知5>3，则5+2 3+2

　　5—2 3—2

　　二组：已知—1

　　—1—33—3

　　想一想不等号的方向改变吗？

　　3、归纳：不等式的性质1：

　　不等式两边都加（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变

　　如果a＜b，那么a+c

　　如果a＞b，那么a+c >b+c，a—c >b—c。

　　不等号方向不改变！

　　4、大胆猜想

　　不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变

　　不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变

　　不等式两边都乘（或除以）同一个数（不为零），不等号的方向呢？

　　5、探索与发现

　　已知4

　　一组：4×2 6×（—2）；

　　4÷26÷（—2）。

　　思考不等号方向改变吗？

　　不等式两边都乘（或除以）一个不为零的数，不等号方向改不改变和什么有关？

　　6、不等式的性质2：

　　不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

　　如果a>b，且c>0，那么ac>bc，如果a0，那么ac

　　7、不等式的性质3：

　　不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的'方向改变。

　　如果a>b，且c

　　如果a

　　三、巩固提高拓展延伸

　　例1：判断下列各题的推导是否正确？为什么（学生口答）

　　（1）因为7.5＞5.7，所以—7.5＜—5.7；

　　（2）因为a+8＞4，所以a＞—4；

　　（3）因为4a＞4b，所以a＞b；

　　（4）因为—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；

　　（5）因为3＞2，所以3a＞2a．

　　（1）正确，根据不等式基本性质3．

　　（2）正确，根据不等式基本性质1．

　　（3）正确，根据不等式基本性质2．

　　（4）正确，根据不等式基本性质1．

　　（5）不对，应分情况逐一讨论．

　　当a＞0时，3a＞2a．（不等式基本性质2）

　　当a=0时，3a=2a．

　　当a＜0时，3a＜2a．（不等式基本性质3）

　　考考你！0>4，哪里错了？

　　已知m>n，两边都乘以4，得4m>4n，两边都减去4m，得0>4n—4m，即0>4（n—m），两边同时除以（n—m），得0>4。

　　等式与不等式的性质

　　1、不等式的三个性质。

　　2、等式与不等式的性质对比。

　　先前后比较，再定不等号

　　四、总结归纳

　　1、等式性质与不等式性质的不同之处；

　　2、在运用“不等式性质3"时应注意的问题．学生通过总结，可以帮助自己从整体上把握本节课所学知识培养良好的学习习惯，也为下节课学好解不等式打下基础。

　　五、布置作业

　　1、必做题：教科书第134页习题9.1第4、5题

　　2、选做题：教科书第134页习题9。 1第7题．

基本不等式教学设计9

　　一、教学设计理念：

　　这节课的目标定位分为三个层面：

　　本节课我设计了五个环节：

　　①变教学生学会知识为指导学生会学知识；

　　导入新课

　　师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?

　　【三维目标】：

　　一、知识与技能

　　二、过程与方法

　　本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

　　三、情感、态度与价值观

　　1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

　　【三维目标】：

　　一、知识与技能

　　二、过程与方法

　　三、情感、态度与价值观

　　1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

　　二、重点、难点解读

　　三、知识点精析

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　探究基本不等式的证明过程，初步理解基本不等式

　　2．过程与方法

　　通过对基本不等式的`不同角度的探究，渗透数形结合及转化的数学思想．

　　3．情感、态度与价值观：

　　三、教学资源普通高中数学课程标准（实验）人教a版教材必修5

　　中学数学周刊20xx年第10期百度

　　四、教学方法与手段

　　启发学生探究，多媒体辅助教学

　　五、教学过程

　　（一）创设情境：

　　你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

　　设计意图：创设问题情境，为问题的引出做铺垫

　　（二）新知探究：图1

　　将风车抽象成图2

　　当直角三角形变为等腰直角三角形,图2

　　即时,正方形efgh缩为一个点,这时有

　　2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

　　【教学重点】

　　应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；

　　【教学难点】

　　基本不等式等号成立条件

　　【教学过程】

　　1.课题导入

　　基本不等式的几何背景：

　　教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系

　　2.讲授新课

　　1．探究图形中的不等关系

　　将图中的“风车”抽象成如图，在正方形abcd中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

　　当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有。

　　2．得到结论：一般的，如果

　　3．思考证明：你能给出它的证明吗？

基本不等式教学设计10

　　各位评委老师，上午好！我是来应聘高中数学的一号考生，我今天说课的题目是《基本不等式》，下面我将从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学过程，说板书设计六个方面展开我的说课，下面开始我的说课！

　一、说教材。

　　1教材的地位和作用：

　　《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值的过程中有着广泛的应用。

　　2教学目标：

　　（1）知识与技能：学生能写出基本不等式，会应用基本不等式解决相关问题。

　　（2）过程与方法：学生通过观察图形，推导、证明等过程，培养观察、分析、归纳、

　　总结的能力。

　　（3）情感态度与价值观：学生领略数学的实际应用价值，感受数学学习的乐趣。

　　3教学重难点：

　　重点：理解基本不等式的本质并会解决实际问题。

　　难点：基本不等式几何意义的理解。

　　二、说学情。

　　为了更好地实现教学目标，我将对学生情况进行一下简要分析。对于高一年级的学生来说，他们对不等式的知识有了一定的.了解，但对基本不等式的理解运用能力不足。这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难。这都将成为我组织教学的考虑因素。

　　三、说教法。

　　科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教育学的和谐完美与统一。根据本节课的特点并结合新课改的要求，在本节课中，我将采用讲授法、演示法、引导启发法等教学方法。

　　四、说学法。

　　教师的教是为了学生更好地学，结合本节内容，我将学法确定为自主探究法、分析归纳

　　法。充分调动学生的眼、手、脑等多种感官参与学习，既培养了他们的学习兴趣，又使他们感受到了学习的乐趣。

　　五、说教学过程。

　　首先，我将利用多媒体战士20xx年国际数学家大会的会标，让同学们边观察边思考：图上有哪些相等或不等关系？通过展示来激发学生的学习兴趣。接下来是新授环节。

　　我将会标抽象成几何图形，正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，让学生自主探究，比较三角形面积之和与正方形面积的大小，从而让学生自主推导出不等式a 2+b 2>2ab，再通过引导启发，让学生自己将结论补充完整。接下来，我会提问：你们能给出它的证明吗？给两分钟的时间让学生自主探究。然后用讲授法给出基本不等式的常用形式ab≤a+b(a>0,b>0)，并给出具体的证明过程，强调等号成立的条件。基本不2

　　等式的证明是本节课的重点，先通过学生的自主探究，再通过我的讲授，学生可以更快地理解这一知识点。接下来是探究基本不等式的几何意义。先由学生自主思考两分钟的时间，然后通过我的讲授，让学生理解基本不等式的几何意义，最后通过几何画板动态演示，让学生更直观地感受基本不等式的几何意义。这样就突破了基本不等式的几何意义这一难点。接下来是巩固练习环节。

　　这个环节，我将利用两个例题对刚才所讲的知识进行巩固练习。

　　例1：证明

　　（1）x +1≥2(x >0) x

　　（2）a +1≥2a (a ≥0)

　　例2：

　　（1）用篱笆围一个面积为100m的矩形菜园。问矩形长宽各为多少时，所用篱笆最短？

　　（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问长宽各为多少时面积最大？第一个例题不是课本例题，它比课本例题简单，这样循序渐进，有利于学生理解不等式的内涵，此处a、b不仅仅是一个字母，而是一个符号，可以是具体数字，也可以是一个多项式。对于这个例题，多数学生会仿照课本上的思路用分析法进行证明。

　　第二个例题是利用基本不等式求最值进而解决实际问题，体现了基本不等式的应用价值，而且例题包含了公式的正向应用和逆向应用，锻炼了学生的灵活使用能力。

　　下面是小结环节。我将让学生用两分钟的时间回顾本节课所学习的内容，并自己总结出本节的知识点。这样不但能巩固本节所学知识，而且能培养学生分析、归纳、总结的能力。22

　　然后是布置作业。为了在课后对所学的知识进行巩固，我将布置课后习题第2题，第4题作为练习题。

【基本不等式教学设计】相关文章：

不等式基本性质教学设计12-29

比的基本性质教学设计05-07

分数基本性质教学设计02-15

《比例的基本性质》教学设计05-04

《比例的基本性质》教学设计05-22

《分数的基本性质》教学设计12-04

哲学的基本问题教学设计03-25

分数的基本性质教学设计04-05

《比例的基本性质》教学设计【推荐】03-19

一元一次不等式教学设计04-08