二次函数与一元二次方程关系教学实录

二次函数与一元二次方程关系教学实录

　　课堂实录（简）

　　问题1：二次函数的一般形式是什么？举例说明。

　　答：y=ax2+bx+c(a≠0)

　　教师：每确定一组a、b、c的合适值，都有一个对应的二次函数解析式，如：y=4x2-3x+2。

　　问题2：作函数图像的步骤有哪些？

　　答：（1）列表；（2）描点；（3）连线。

　　实践1：在同一坐标系中作出下列函数的图像。

　　y1=x2+2x y2=x2-2x+1 y3=x2-2x+2

　　学生通过列表、描点、连线作出函数的图像

　　问题3：根据图像说出上述抛物线的性质。

　　答：学生从开口方向、对称轴、顶点、增减性方面进行总结。（以上已用时间18分钟）

　　问题4：观察图像与x轴、y轴交点个数，若有交点，说出交点的坐标。

　　答：y1=x2+2x与x轴有两个交点：（0，0），（-2，0）；与y轴交于（0，0）；

　　y2=x2-2x+1与x轴有一个交点：（1，0）；与y轴交于（0，1）；

　　y3=x2-2x+2与x轴有无交点；与y轴交于（0，2）。（已用时间23分钟）

　　讨论、探究：观察分析上述二次函数图像与x轴交点坐标与对应的一元二次方程解的关系，如下：

　　（1）Y1=x2+2x x2+2x=0

　　（2）y2=x2-2x+1 x2-2x+1=0

　　（3）y3=x2-2x+2 x2-2x+2=0

　　学生分组讨论。（讨论较积极，课堂争论声较大，课堂好像“失控”了）

　　总结：小组代表汇报本小组讨论结果

　　（1） 方程的解0、2即为交点的横坐标；

　　（2） 方程只有两个相等的解1，也是交点的横坐标；

　　（3） 方程无解，抛物线与x轴无交点。（已用时间28分钟）

　　猜想：二次函数图像与x轴交点坐标与对应的一元二次方程的解有何关系？

　　学生继续讨论（课堂好像再次失控）。

　　总结：小组代表汇报本小组猜想结果

　　1、二次函数图像与x轴交点坐标横坐标与对应的一元二次方程的解

　　2、方程解的个数等于抛物线与x轴交点的个数：

　　（1）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴有两个交点；

　　（2）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴只有一个交点；

　　（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴无交点；

　　（教师帮助总结，引导学生规范用语）（已用时间43分钟）

　　验证：（教师出示小黑板）

　　1、 已知二次函数y=ax2-2图像经过（1，-1），求它与x轴交点坐标。

　　学生解题（已用时间45分钟，下课）

　　2、 已知二次函数y=kx2-7x-7的图像与x轴有两个交点，求k的取值范围。

　　3、 判断下列函数的图像与x轴是否有交点，说明理由。

　　(1) y=x2-x； （2）y=-x2+6x-9 ；（3）y=3x2+6x+11；

　　小结：（没有进行）

　　作业：验证（2、3）