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求不定积分方法总结

时间：2022-12-23 09:25:22 王娟总结范文我要投稿

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求不定积分方法总结

　　总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性结论的书面材料，它是增长才干的一种好办法，不如立即行动起来写一份总结吧。总结怎么写才是正确的呢？下面是小编为大家整理的求不定积分方法总结，欢迎阅读与收藏。

求不定积分方法总结

　　1、不定积分的线性性

　　成立的前提是，f和g都有不定积分！

　　这个性质在计算不定积分时，经常用！一般都是把难计算的不定积分，转化为一个个容易计算的不定积分。例题就不说了，看书。

　　2、分部积分法

　　这是一个很有效的计算积分的办法！一定要掌握！

　　从本师的教学经验来看，初学者往往在两个地方犯难：

　　（1）不知道怎么凑微分

　　（2）不知道把谁当u，谁当v

　　3、有理函数的积分

　　有理函数的积分，是一类常见的不定积分。它有一套通用的办法求解，并且很多不定积分，经过适当的换元后，可以转化成有理函数的不定积分来计算！所以，这种类型的不定积分，一定要掌握！

　　其中P和Q是x的多项式函数。

　　这个类型的积分，主要是通过拆项，化成简单的不定积分来计算。

　　下面的步骤，其实就是教你怎么拆项。

　　(1)用辗转相除法，将被积函数化成一个多项式和“真分式”的和：

　　(2)h(x)是多项式函数，积分不要太简单！现在就是要计算右边这个积分了。

　　(3)对Q(x)因式分解。因为我们考虑的是实系数多项式，多项式Q(x)一定能分解成下面两种类型的因子的乘积：

　　(4)利用待定系数法，将r/Q拆分，拆成简单的分式的和。

　　举例说明：

　　然后，右边同分，比较等式两边分子的系数。

　　这样就会得到待定系数的一个一次方程组，解之（非常简单），算出待定系数。

　　4、第一类换元（凑分法）u=g(x)，主要是要记牢常见的求导公式，然后多从右往左看。

　　5、第二类换元，x=u(t)

　　要注意，u(t)必须是单调的！所以一般要指明t的取值范围。这里，换元的技巧非常多，本师也只掌握了其中一些常用的。

　　(1)倒代换x=1/t

　　使用的对象特征很明显

　　来个例子

　　t<0时，类似处理，最后再下结论。

　　(2)

　　这种形状的积分，直接换元掉根号。

　　例子说明一切

　　(3)三角换元

　　这是让大家又爱又恨的积分法。爱是因为它实在是太好用了，恨是因为它实在是太多选择太多恒等变化了！

　　这种情况，用合适的三角函数去换元。注意，换元的目的，在这里是为了去掉根号，以便达到简化被积函数的目的。知道这一点，你就知道如何选择三角函数了。另外，注意新变量的取值范围，以保证单调性。

　　书上有太多这样的例题，这里不列举了。

　　下面主要和大家分享下三角函数有理式（三角函数的乘除）的计算技巧。

　　(i)遇奇次幂，拿一个出来，凑到微分里

　　(ii)都是偶数次幂，倍角公式降幂

　　(iii)积化和差公式

　　(iv)当三角函数幂次较低时，使用万能公式换元

　　(v)配凑法

　　解之，得I_1，I_2.

　　不定积分

　　1、原函数存在定理

　　定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F（x），使对任一x∈I都有F’（x）=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。

　　分部积分法

　　如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

　　2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

　　定积分

　　1、定积分解决的典型问题

　　（1）曲边梯形的面积

　　（2）变速直线运动的路程

　　2、函数可积的充分条件

　　定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。

　　定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。

　　3、定积分的若干重要性质

　　性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

　　推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　　推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　　性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

　　性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

　　4、关于广义积分

　　设函数f(x)在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx都收敛，则定义∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。

　　定积分的应用

　　1求平面图形的面积（曲线围成的面积）

　　直角坐标系下（含参数与不含参数）

　　极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)

　　旋转体体积（由连续曲线直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）

　　平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）

　　功水压力引力

　　函数的平均值（平均值y=1/(b-a)x∫abf(x)dx）

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