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数与式中考复习课件
在我们学习的数学当中，数与式是少不了，那么中考的同学们学习了哪些数与式的知识呢？
1.1实数的意义
基础盘点
1．_____和_____统称为有理数，________叫做无理数，有理数和无理数统称为______．
2．规定了_____、_____和_____的_____叫做数轴.实数与数轴上的点具有______的关系．
3．相反数：a与________互为相反数，若a与b互为相反数，则a+b=________.
4. 倒数：若ab=1，则a与b互为________.
5．数轴上，表示a的点___________，叫做a的绝对值.
6．科学记数法就是把一个数写成 的形式，其中a的范围是_____，n是整数.
考点呈现
考点1 实数的有关概念
例1(201X绥化)在实数0 、π 、 、 、 中 ，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：在给出的各个数中， 和 是无限不循环小数，它们是无理数，故应选B．
评注：解此类问题，关键是牢记无理数有三种形式：一是开方开不尽的数（如 ）；二是具有特定结构的数（如0.1010010001…）；三是含有圆周率 和自然常熟e的数（如 ）．
例2 （201X毕节）下列说法正确的是 （ ）
A. 一个数的绝对值一定比0大 B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数 D. 最小的正整数是1
解析：0的绝对值是0，故A和C错误；负数的相反数比它本身大，零的相反数等于它本身，故B错误；最小的正整数是1，故D正确．故选D.
评注：本题考查了实数的概念，熟练掌握绝对值、相反数的概念、实数大小的比较方法，是解决此题的关键．
考点2 近似数与科学记数法
例3 （201X黔南州）下列各数表示正确的是 （ ）
A. 57 000 000=57×106
B.0.0158（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015
C.1.804（用四舍五入法精确到十分位）≈1.8
D.0.000 025 7=2.57
解析：根据科学记数法的表示方法，57000000应等于5.7×107，0.000 025 7=2.57 ，故A和D均不对；0.0158用四舍五入法精确到0.001等于0.016，B不对，所以应选C.
评注：在用科学记数法把一个数写成 的形式时，表示一个绝对值大于1的数时，n的值比原数的整数位数小1；表示绝对值小于1的数时，n的值是负整数，是第一个非零数字前所有0的个数的相反数.近似数的精确度，就是这个近似数中最后一个数字所在的那一位.
考点3 实数与数轴
例4 （201X威海）实数 在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是 （ ）
A. ＜1＜ B. 1 ＜ ＜ C. 1 ＜ ＜ D. ＜ ＜-1
解析：根据实数a，b在数轴上的位置，可得a＜﹣1＜0＜1＜b，所以 >1，所以A是错误的，应选A．
评注：解答此题的关键是要明确数轴及绝对值的意义及实数大小的比较方法．解答此类题型还可以将a，b用相应的数字代替，然后比较各个选项即可.
考点4 非负数的性质
例5 （201X绵阳）若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
解析：因为非负数 和 之和等于零，故 ，所以 ，则 = ，故选A．
评注：常见的非负数有以下几类：一个数的绝对值、一个数的偶数次方、一个非负数的算术平方根等．非负数有如下性质：它有最小值（为零），但无最大值；如果几个非负数的和等于零，那么每一个非负数都等于零．
考点5 无理数的估算
例6 （2015?自贡）若两个连续整 数 ， 满足 ＜ ＜ ，则 值是___．
解：因为4＜5＜9，所以 ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，由此可得3＜ +1＜4，故 =3， =4，所以 =7．
评注：实数的估算，常见题型就是确定无理数a的整数部分和小数部分，其方法是将无理数a限制在两个连续的整数之间，形如n<a<n+1，则其整数部分就是n，小数部 分就是a-n．
误区点拨
1．对无理数的概念理解不清致错
例1 （2015?通辽）实数tan45°， ，0，﹣ π， ，﹣ ，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
错解：A
剖析：无理数就是无限不循环小数，常见的有三种类型（见例1评注），本题中，﹣ π，sin60°，0.3131131113…是无理数，故应选D．需注意的是 =2， ，都是有理数．正确答案为D.
2．考虑问题不全面致错
例2 如果 ，则 =____.
错解：6.
剖析：本题应分两种情况，即 或 ，错解只考虑了前一种情况，而忽视了后一种情况.答案应为6或-4.
跟踪训练
1.（201X上海）下列实数中，是有理数的为 （ ）
A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引 用源。 C.错误！未找到引用源。 D 0
2.（201X内江）用科学记数表示0.0000061，结果是 （ ）
A. B. C. D.
3.（201X资阳）如图，已知数轴上的点A，B，C，D分别表示数-2，1，2，3，则表示3－ 的点P应落在线段 （ ）
A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上
4.（2015?菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是 （ ）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
5.（2015?资阳）已知： ，则 的值为____．
1.2实数的运算及二次根式
基础盘点
1．实数的运算
⑴在进行实数的加法与乘法运算时，可以先确定结果的符号，再确定结果的绝对值.
⑵减去一个数，等于_________；除以一个数，等于________.
⑶________叫做乘方，乘方的结果叫做________.
⑷ ， （a≠0，且m为整数）.
2．二次根式
⑴形如______的式子，叫做二次根式．
⑵ ，
考点呈现
考点1 实数的运算
例1 （201X毕节）计算： ．
解析：先根据零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的绝对值的性质等知识将原式化简，再进行计算.
原式= ．
评注：进行实数运算，首先要掌握零指数、负整数指数幂的意义及实数的有关性质，其次要确定运算顺序，另外还要根据算式特点，使用运算定律，以达到简化运算之目的.
考点2 二次根式有意义的条件
例2 （201X攀枝花）若 ，则 =______．
解析：根据二次根式有意义的条件可知， ，且 ，所以x=3，y=2，解得 =9.
评注：本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，根据二次根式有意义的条件，求出x与y的值是解此题的关键．
考点3 二次根式的计算
例3 （201X临沂）计算： ．
解析：先将所求算式变形为 ，然后根据平方差公式展开得 ，再利用完全平方公式展开后合并，即可得出最后结果为 （过程略）．
评注：实数的运算律对二次根式的运算仍适用，并且在进行二次根式的运算时，可以利用乘法公式简化运算步骤．
误区点拨
1．对平方根和算术平方根概念理解不清致错
例1 （201X凉山州） 的平 方根是____．
错解： 或3．
剖析：由于不理解题意，误将结果求成81的平方根，而得出 ；不理解平方根的意义，得出3这一错误结果．因为 ，故本题求的是9的平方根，答案应为 ．
2．由于不理解负整数指数幂和绝对值的意义知错
例2 (201X绥化)计算： _________.
错解：原式= ．
剖析：本题两个错误，一是去绝对值符号时，由于没搞清 的正负，造成了去绝对值符号时的错误．因为 ＜0，所以其绝对值等于 ；二是错在由于不理解负整数指数幂的意义，将 求错．原式= ．
跟踪训练
1．（201X绵阳）要使代数式 有意义，则 的 （ ）
2．A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是
2．（201X淮安）下列式子为最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（201X潜江）下列各式计算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
1.3整式
基础盘点
1．单项式和多项式统称为______；所含字母____，并且相同字母也相同的项，叫做______．
2．整式的运算：（1） _______； _______； _______； _______（a≠0）.
（2） _______； =_______.
3．乘法公式：⑴ =________；⑵ =_________．
4．因式分解：⑴把一个_____化为几个________的形式，叫多项式的因式分解.
⑵因式分解常用的方法有______法和______法.
考点呈现
考点1 整式的有关概念
例1 （201X巴中）若单项式 与 是同类项，则a，b的值分别为（ ）
A．a=3，b=1 B．a=－3，b=1 C．a=3，b=－1 D．a=－3，b=－1
解析：因为这两个单项式是同类项，所以 ，解得a=3，b=1，故选A．
评注：本题考查了同类项的概念，可利用同类项中“相同字母的指数相同”这一条件，列出方程组求解．
考点2 幂的运 算
例2 （201X湖北鄂州）下列运算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
解析：选项A用同底数幂的乘法法则计算，结果为 ；选项B为幂的乘方，应将指数相乘，结果为 ；选项C为积的乘方，应将积中每个因式分别乘方，结果为 ；选项D用同底数幂的除法计算，结果正确．故选D.
评注：幂的运算法则是进行整式乘除的基础，在运用幂的运算法则进行计算时，不要将它们弄混，要熟记各个法则的特点，根据题目灵活选择合适的使用．
考点3 乘法公式
例3 （201X河池）先化简，再求值：（3-x）(3+x)+(x+1)2，其中x=2．
解析：分别利用平方差公式和完全平方公式，按去括号、合并同类项的步骤化简，再代入求值.
原式= = ，当 时，原式=14．
评注：在运用乘法公式时，要先观察算式的特点是否符合公式条件，再确定能否利用公式计算，若实在不能变为符合公式的形式，那就应该用多项式与多项式相乘的法则进行计算．
考点4 整式的运算
例4 (201X湖北随州市)先化简，再求值：(2＋A(2－A＋a(a－5b)＋ ÷ ．其中ab＝－ ．
解析：先根据乘法公式、整式乘除法的法则去括号，得原式＝4－ ＋ －5ab＋3ab，再合并同类项，得4-2ab，最后代 入求值，结果为5（过程略）．
评注：在进行整式运算时，不要漏项，不要搞错符号，对于计算结果，有同类项的要合并同类项，还有就是应将结果按某一字母降幂排列．
1. 对乘法公式的结构认识不清致错
例2 计算： ．
错解： ．
剖析：错解错在对乘法公式的结构认识不清，在运用乘法公式时，关键要弄清公式中 与 所代表的代数式，题中根本不能用平方差公式，应变形后用完全平方公式．答案为 .
2. 分解因式不彻底致错
例2 分解因式： ；
错解： ．
剖析：分解因式时，要先观察多项式中是不是有公因式，若有公因式，应先提公因式，错解就错在没提公因式，直接运用平方差公式，造成了分解不彻底这一错误，正确结果为 ．
跟踪训练
1．（201X陕西）下列计算正确的是 （ ）
A．a2?a3=a6 B．(-2ab)2=4a2b2 C．(a2)3=a5 D．3a3b2÷a2b2=3ab
2．（201X邵阳）已知a ＋b=3，ab=2，则 的值为 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3．⑴（201X绵阳） =____；
⑵（201X常德） =_____．
4．因式分解：⑴（201X?鄂州）a3b﹣4ab=____；⑵（201X巴中）2a2﹣4a+2=____．
5．化简：⑴（201X浙江省温州）（2a+1）(2a-1)-4a(a-1)．
⑵（201X湖北省咸宁）化简： .
6．（201X江西省）先化简，再求值： ，其中 ， ．
1.4 分式
基础盘点
1．分式有意义的条件是______，分式值为零的条件是______．
2．分式的基本性质：（1） ______；（2） ______；（3） .
3．分式的运算：（1） =______， =______， =______；（2） =______， =______．
考点呈现
考点1 分式有意义的条件
例1 ( 201X绥化)若代数式 的值等于0 ，则x=_________.
解析：由分式的值为零可知x2﹣5x+6=0且2x﹣6≠0，由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3；由2x﹣6≠0，得x≠3，所以x只能取2．
评注：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
考点2 分式的基本性质
例2 （201X益阳）下列等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
解析：根据分式的性质对四个选项逐一分析可知只有C正确，故应选C．
评注：分式的基本性质是分式变形的依据，在利用分式基本性质变形时，分子和分母必须同乘或（除以）同一个不为零的数或式，分式的值才不变．
考点三：分式的运算
例3 （201X四川省凉山州市）先化简： ，然后从 的范围内选取一个合适的整数作为 的值代入求值.
解：原式= = = ，
当 时，原式= .
评注：所代入的数不能为0、1和-1，因为这些数使原式无意义.
误区点拨
1．忽视分式中分母不为零致错
例1 （201x凉山州）分式 的值为零，则x的值为 （ ）
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 任意实数
错解：C
剖析：错解错在只考虑了分子为零，而忽视了分母不为零这一条件，应选A．
2．利用分 式的基本性质变形时，忽视同乘或同除的数不能为零致错
例2 以下两个等式：① ；② ．其中一定成立的是_____（填序号）．
错解：①②．
剖析：①不一定成立，因为变形时两边同乘以的 有可能得零；而②一定成立，因为题目中隐藏着 这一条件．故答案为②.
跟踪训练
1．（201X金华）要使分式 有意义，则x的取值应满足 ( )
A.x＝－2 B.x≠2 C. x＞－2 D.x≠－2
2．（201X义乌）化简 的结果是 （ ）
A.x+1 B. C. x-1 D.
3．（201X无锡）化简 得__________．
4．（201X河北）若 ，则 的值为 ．
5．（201X达州）化简 ，并求值．其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
参考答案
1.1实数的意义
1.D 2.B 3.B 4.C 5. 12
1.2实数的运算与二次根式
1.A 2.A 3.D 4. 5 5.
1.3整式
1.B 2.C 3．⑴0；⑵ 4．⑴ab（a+2）（a﹣2）；⑵2（a﹣1）2
5．⑴4a-1；⑵
6．原式= ，当a=-1，b= 时，原式=-11．
1.4分式
1.D 2.A 3． 4．
5．原式化简得 。由题意可得1＜a＜5，a又为整数，所以a=4.当a=4.时，原式=1.
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