关于数学的期末考试试卷
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择 题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。
1.已知平面向量 ， ，且 ，则实数 的值为
A. B. C. D.
2.设集合 ， ，若 ，则实数 的值为
A. B. C. D.
3.已知直线 平面 ,直线 ,则 是 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 定义： .若复数 满足 ，则 等于
A. B. C. D.
5.函数 在 处的切线方程是
A. B. C. D.
6. 某程序框图如右图所示，现输入如下 四个函数，
则可以输出的函数是
A. B. C. D.
7. 若函数 的图象(部分)如图所示，
则 和 的取值是
A. B.
C. D.
8. 若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ，则 可以是
A. B. C. D.
9.已知 ，若方程 存在三个不等的实根 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知集合 , 。若存在实数 使得 成立,称点 为￡点，则￡点在平面区域 内的个数是
A. 0 B.1 C .2 D. 无数个
第二卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卡上.
11. 已知随机变量 ，若 ，则 等于 ******.
12.某几何体的三视图如下右图所示，则这个几何体的体积是 ****** .
13. 已知抛物线 的准线 与双曲线 相切，
则双曲线 的离心率 ****** .
14.在平面直角坐标系中,不等式组 所表示的平面区域的面积是9，则实数 的值为 ****** .
15. 已知不等式 ，若对任意 且 ，该不等式恒成立，则实
数 的取值范围是 ****** .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.(本小题满分13分)
在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ，且 ， .
(Ⅰ)求 与 ;
(Ⅱ)证明： .
17. (本小题满分13分)
已知向量
(Ⅰ)求 的解析式;
(Ⅱ)求由 的图象、 轴的正半轴及 轴的正半轴三者 围成图形的面积。
18. (本小题满分13分)图一，平面四边形 关于直线 对称， ， ， .把 沿 折起(如图二)，使二面角 的余弦值等于 .
对于图二，完成以下各 小题：
(Ⅰ)求 两点间的距离;
(Ⅱ)证明： 平面 ;
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
19. (本小题满分13分) 二十世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病.经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染.人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒. 引起世人对食品安全的关注.《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm.
罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高.现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)如下：
(Ⅰ)若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率;
(Ⅱ)以此15条鱼的样本数据.若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求的分布列及E
20. (本小题满分14分)
已知焦点在 轴上的椭圆 过点 ，且离心率为 , 为椭圆 的左顶点.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)已知过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.
① 若直线 垂直于 轴，求 的大小;
② 若直线 与 轴不 垂直，是否存在直线 使得 为等腰三角形?如果存在，求出直线 的方程;如果不存在，请说明理由.
21. (本小题共14分)
已知 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 ，
① 方程 有实数根;② 函数 的导数 满足 .
普通高中20122013中联合考试
高三数
解答题
16.解：(Ⅰ)设 的公差为 ，。
因为 所以 3分
解得 或 (舍)， .。
故 ， .6分
(Ⅱ)因为 。
所以 .9分
故
11分
因为 ，所以 ，于是 ，。
所以 .
即 13分
17.解：(Ⅰ) 2分
4分
6分
，
。 7分
(Ⅱ)令 =0,解得
易知 的图象与 轴正半轴的第一个交点为 。 9分
所以 的图象、 轴的正半轴及形的面积
。11分
13分
18.解：(Ⅰ)取 的中点 ，连接 ，
由 ，得：
就是二面角 的平面角，即 2分
在 中，解得 ，又
，解得 。 4分
(Ⅱ)由 ，
， ，
， 又 ， 平面 .8分
(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知 平面 ， 平面
平面 平面 ，平面 平面 ，
就是 与平面 所成的角。11分
.13分
方 法二：设点 到平面 的距离为 ，。
∵ ， ，
， 11分
于是 与平面 所成角 的正弦为 .13分
方法三：以 所在直线分别为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系 ，。
则 .
设平面 的法向量为 ，则
， ， ， ，
取 ，则 ， 11分
于是 与平面 所成角 的正弦 .13分
19.解：(I)记15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标为事件A
则 .
15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为 5分
(II)解法一：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P= ，7分
所有的取值为0，1，2，3，其分布列如下：
0123
P()
11分
所以～ ， 12分
所以E=1. 13分
解法 二：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P= ， 7分
所有的取值为0，1，2，3，其分布列如下：
0123
P()
11分
所以E= . 13分
20.解：(Ⅰ)设椭圆 的标准方程为 ，且 .
由题意可知： ， . 2分
解得 .
椭圆 的标准方程为 . 3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .设 .
(ⅰ)当直线 垂直于 轴时，直线 的方程为 .
由 解得： 或
即 (不妨设点 在 轴上方). 5分
则直线 的斜率 ，直线 的斜率 .
∵ ，得 .
. 6分
(ⅱ)当直线 与 轴不垂直时，由题意可设直线 的方程为 .
由 消去 得： .
因为 点 在椭圆 的内部，显然 .
8分
因为 ， ， ，
所以
. 即 为直角三角形. 11分
假设存在直线 使得 为等腰三角形，则 .
取 的中点 ，连接 ，则 .
记点 为 .
另一方面，点 的横坐标 ，。
点 的纵坐标 .
又
故 与 不垂直，矛盾.
所以 当直线 与 轴不垂直时，不存在直线 使得 为等腰三角形.
13分
21.解：(Ⅰ)因为①当 时， ，。
所以方程 有实数根0;
② ，
所以 ，满足条件 ;
由①②，函数 是集合 中的元素. 5分
(Ⅱ)假设方程 存在两个实数根 ， ，。
则 ， .
不妨设 ，根据题意存在 ，。
满足 .
因为 ， ，且 ，所以 .
与已知 矛盾.又 有实数根，。
所以方程 有且只有一个实数根. 10分
(Ⅲ)当 时，结论显然成立; 11分
当 ，不妨设 .
因为 ,且 所以 为增函数，那么 .
又因为 ，所以函数 为减函数。
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