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高二下学期期中考试数学试题
高二下学期期中考试数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1．若方程C： （ 是常数）则下列结论正确的是（ ）
A． ，方程C表示椭圆 w B． ，方程C表示椭圆
C． ，方程C表示双曲线 D． ，方程C表示抛物线
2．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．P: ,Q: ，则“ P”是“ Q”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．向量 ，与其共线且满足 的向量 是（ ）
A． B．（4，－2，4）
C ．（－4，2，－4） D．（2，－3，4）
5．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6、空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足 =α +β ，其中α，β R，α+β=1，则点C的轨迹为（ ）
A．平面B．直线C．圆D．线段
7、椭圆 上一点M到焦点 的距离为2， 是 的中点，则 等于（ ）
A．2B．4C．6D．
8. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
9．如图 ，正方体 的棱长为2， 点 是
平面 上的动点，点 在棱 上， 且 ，
且动点 到直线 的距离与点 到点 的距离的
平方差为4，则动点 的轨迹是（ ）
A．抛物线B．圆 C．双曲线D．直线
10．过双曲线M： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的'两条渐近线分别相关于点B、C，且｜AB｜＝｜BC｜，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、双曲线两条渐近线的夹角为60，该双曲线的离心率为 .
12、如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在直线方程是 .
13、已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米.
14．双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是 .
15．如图，正方体 中， ， 分别为棱 ， 上的点．已知下列判断：① 平面 ；② 在侧
面 上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面 内总存在与平面 平行的直线；
④平面 与平面 所成的二面角（锐角）
的大小与点 的位置有关，与点 的位置无关．
其中正确结论的序号为__________（写出所有正确结论的序号）.
三、解答题（共75分，解答题应有适当的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
设命题 ： ，命题 ： ；
如果“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，求 的取值范围。
17．（本小题满分12分）
如图，直二面角 中，四边形 是边长为 的正方形， ， 为 上的点，且 ⊥平面 .
（1）求证： ⊥平面 ；
（2）求点 到平面 的 距离.
18．（本小题满分12分）已知椭圆x22＋y2＝1及点B（0，－2），过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为其右 焦点，求△CDF2的面积．
19.（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥 中， 平面 ，
，点 在 上，且 .
（1）求二面角 的余弦值；
（2） 在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 .
20．（本小题满分13分）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线 上，
△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.
21．（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ， 为其
焦点，一直线过点 与椭圆相交于 两点，且 的最大面积为 ，求椭圆的方程.
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17、解：（1） 平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角，且 ， 平面ABE.
又∵ ，BF 平面BC E，CB 平面BCE，
------------4分
设平面AEC的一个法向量为 ，
则 解得 令 得 是平面AEC的一个法向量. ∵AD//z轴，AD=2，∴ ，
∴点D到平面ACE的距离
---------12分
18、解:F1(－1,0 )
∴直线CD方程为y＝－2x－2，由y＝－2x－2x22＋y2＝1得9x2＋16x＋6＝0，而Δ>0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－169x1x2＝23 ----------4分
|CD|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2，
∴|CD|＝51692－4×23＝1092. ---------8分
F2到直线DC的距离d＝455，
故S△CDF2＝12|CD|d＝4910. --------12分
19、解：（1）以 为坐标原点，直线 ， ， 分别
为 轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， --------2分
∴ ， .
∵ 平面
∴ 为平面 的法向量，
， -----4分
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，且 ，
得
令 ，则 ， ，
所以 ------ 6分
所以 ，
即所求二面角的余弦值为 . ------ 8分
（2）设 ，则 ，
∵ ， ∴
，
若 平面 ，则 ，即 ，
，解得 ，
所以存在满足题意的点，当 是棱 的中点时， 平面 . -----12分
21、解：由 ＝ 得
所以椭圆方程设为 ------2分
设直 线 ，由 得：
设 ，则 是方程的两个根
由韦达定理得 -------5分
所以 -------7分
＝ -------12分
当且仅当 时，即 轴时取等号
所以，所求椭圆方程为 -------14分
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