向量线性相关判断方法总结

向量线性相关判断方法总结

　　向量的相关知识，是线性代数中较为抽象的部分，向量线性相关与线性无关的判定方法多，性质多，定理多，需要大家注重总结、认真梳理。下面是小编为你带来的向量线性相关判断方法总结 ，欢迎阅读。

　　向量线性相关判断方法总结 1

　　在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。与之对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）

　　向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

　　向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头→。[1]如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

　　而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

　　几何向量的`概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

　　向量线性相关判断方法总结 2

　　判断向量组线性相关的方法有：行列式判别法、向量线性表示法、齐次线性方程组法、秩的判定法。

　　1、行列式判别法：将向量组的向量按列排成矩阵，计算该矩阵的行列式。如果行列式的值为0，则向量组线性相关；如果行列式的值不为0，则向量组线性无关。

　　2、向量线性表示法：对于向量组中的任意一个向量，可以通过其他向量的线性组合表示出来。如果存在不全为零的系数使得线性组合等于零向量，则向量组线性相关；如果唯一的线性组合是零向量，则向量组线性无关。

　　3、齐次线性方程组法：将向量组的向量按列排成矩阵，构造齐次线性方程组Ax=0，其中A为系数矩阵，x为未知向量。如果齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关；如果齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关。

　　4、秩的判定法：将向量组的向量按列排成矩阵，计算该矩阵的秩。如果秩小于向量的个数，则向量组线性相关；如果秩等于向量的个数，则向量组线性无关。

　　线性无关的向量组在数学中的重要性

　　1、线性无关的向量组可以用作基础。在线性代数中，一个向量空间可以由一组线性无关的向量作为基来生成。这些基向量可以用来表示向量空间中的任意向量，而且表示方式是唯一的。基向量的选择对于描述向量空间的性质和操作非常重要。

　　2、线性无关的'向量组可以用于解决线性方程组。在线性方程组的求解过程中，我们可以利用线性无关的向量组来构建增广矩阵，并通过高斯消元法等方法求解方程组的解。

　　3、线性无关的向量组可以用于描述几何空间。在几何学中，线性无关的向量组可以用来表示平面、直线或更高维度的几何对象。

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　　令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。通过向量组的正交性研究向量组的相关性。当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。

　　线性相关定理

　　1、向量a1,a2,…,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的`一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

　　2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

　　3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

　　4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

　　5、n+1个n维向量总是线性相关。

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